2026年菲尔兹奖得主：
一份机构研究简报

数学界发生了什么变化？

2026 年 7 月 23 日，在费城举行的国际数学家大会（ICM）上，国际数学联盟把四枚菲尔兹奖章——常被称为「数学界的诺贝尔奖」——颁给了四位 40 岁以下的数学家（Simons Foundation）。每位得主解决的问题，都曾困扰世界顶尖数学家数十年，有的甚至超过一个世纪。

把数学想象成一片浩瀚的山脉：有人人都能望见的高峰，那是悬在整片风景之上的著名未解难题；也有隐藏的山脊，连接着从山下看毫不相关的峰顶；还有一整片一整片的技法峡谷，大多数攀登者甚至不知道它们的存在，却恰恰藏着通往顶峰的关键路线。

2026 年的这四位菲尔兹奖得主，做的不只是登顶——他们开辟了全新的攀登路线，直接改写了整张地图：

• Yu Deng 证明了数十亿粒子的混沌舞动，确实能催生出流体力学中光滑、可预测的方程——完成了 David Hilbert 在 1900 年提出的一个构想（UChicago News).
• John Pardon 证明了在六维形状——这类形状或许正是弦理论中我们宇宙的模型——上，两种截然不同的曲线计数方法算的其实是同一件事，由此解决了一个二十年未解的猜想（Quanta Magazine).
• Jacob Tsimerman 把一套源自数理逻辑的方法搬进了数论——一个叫「o-极小性」的概念，它精确刻画了「驯顺几何」到底是什么——并用它证明了自 1970 年代起悬而未决的数论猜想（Plus Magazine).
• Hong Wang 证明了一根在三维空间中朝各个方向旋转的针，必然扫出一个维度饱满的集合——解决了一个 1917 年提出的问题，并为调和分析中一整座猜想塔打开了大门（Plus Magazine, IHES).

本简报将深入介绍每一位获奖者：他们所在的研究领域、解决的问题、这些成果为何重要，以及界定其研究谱系的10项最具影响力的相关工作——既有他们自己的成果，也有前人的奠基之作。

动画（作者辅助演示）：四条新路线在山脉中自行绘出；四面旗帜插上了被攻克的峰顶——他们改写的，是地图本身。

Yu Deng——偏微分方程

所属机构：University of Chicago（此前任教于 USC Dornsife；2015年获 Princeton 博士学位）
获奖时年龄： 37

官方授奖辞：

"For his work in partial differential equations, including the rigorous derivation of the Boltzmann equation from hard-sphere dynamics for rarefied gases, the derivation of wave kinetic equations from nonlinear dispersive systems, and probabilistic approaches to nonlinear Schrödinger dynamics."（中译：表彰他在偏微分方程领域的工作，包括从稀薄气体的硬球动力学严格推导出玻尔兹曼方程、从非线性色散系统推导出波动动理学方程，以及处理非线性薛定谔动力学的概率方法。）
— (Simons Foundation)

研究领域：偏微分方程（PDEs）

想象你正在海里游泳。周围的水从不是静止的——它涌动、打旋、拍打，近看杂乱无章，放大尺度看却又自有章法。描述流体、气体与波如何随时间演化的方程，叫做偏微分方程（partial differential equations, PDEs）。一个偏微分方程描述的是某个量如何同时随空间和时间变化——它回答的不是“球下落的速度有多快”（那是常微分方程管的事），而是“随着时间推移，热量如何在一块金属板上扩散”这类问题（UChicago News).

偏微分方程是物理学说话的语言。热方程、波动方程、描述流体力学的 Navier-Stokes 方程、量子力学的薛定谔方程——全都是偏微分方程。但偏微分方程出了名地难以严格求解：你可以把方程写下来，可要证明解真实存在、证明它的行为符合物理学的预测、证明你真能对它说出精确的话——数学的难点正在于此。

Deng 的工作正处在偏微分方程与概率论的交界处。他把灵活的概率视角，带入了原本刚性、结构化的波动方程世界——就像把武术家身上那种流水般的适应力，注入一套本该一板一眼的套路（形）之中。用 Deng 自己的话说："There is a lot of randomness in this world, and we need a mathematical way to capture it"（中译：这个世界充满了随机性，我们需要一种数学方式去捕捉它）（UChicago News).

获奖工作

Deng 的菲尔兹奖表彰三项相互关联的突破：

1. 从硬球动力学推导玻尔兹曼方程（希尔伯特第六问题）

1900 年，David Hilbert 提出了 23 个将塑造下一个世纪数学发展的问题。他的第六问题问道：能否从第一性原理出发，从单个粒子的运动推导出物理学的方程——尤其是流体力学方程？（Plus Magazine)

设想一种由数十亿个微小硬球组成的气体，它们像台球一样彼此碰撞。在微观层面，每个粒子都遵循牛顿定律，对单个粒子而言确定且可预测；但在宏观层面，气体的行为遵循玻尔兹曼方程（1872 年），它用统计平均值描述温度、压强和速度；而在最大尺度上，气体则作为连续流体流动，由纳维—斯托克斯方程 (UChicago News).

这条链条是：牛顿 → 玻尔兹曼 → 纳维—斯托克斯。Hilbert 希望数学家们能严格证明其中每一环。

第二环（玻尔兹曼 → 纳维—斯托克斯）当时已经被理解，第一环（牛顿 → 玻尔兹曼）才是难点。1975 年，Oscar Lanford 证明了这一环——但只在极短的时间内成立，短到"only one in a million particles is expected to have had one collision"（中译：预期每一百万个粒子中只有一个发生过一次碰撞）（Plus Magazine）。在更长的时间尺度上，粒子会反复碰撞，累积出错综复杂的共同历史——就像两个交手多年的陪练，早已能预判彼此的动作。玻尔兹曼所依赖的独立性假设由此失效。

Deng 与 Zaher Hani（University of Michigan）、Xiao Ma（Princeton）一起攻克了这个问题。他们的关键洞见是 Deng 想到的，地点是罗德岛州普罗维登斯的一家韩式炸鸡摊（UChicago News）——把长时间区间切割成短区间，再用一套精巧的“分子切割”算法来控制碰撞模式的组合爆炸。他们把碰撞历史表示为树状图（让人联想到物理学中的费曼图），然后证明：尽管这些树在长时间尺度下会变得无限复杂，它们的贡献却能以可控的方式相互抵消、组合（Quanta Magazine).

结果是：2024 到 2025 年间，Deng、Hani 和 Ma 发表了一篇 200 页的证明，在玻尔兹曼—格拉德假设下，只要相应的玻尔兹曼方程解存在，就能对任意长的时间从硬球动力学推导出玻尔兹曼方程；随后他们在这一模型设定下完成了从牛顿到纳维—斯托克斯的完整严格链条。希尔伯特第六问题——至少在玻尔兹曼—格拉德极限下的稀薄硬球气体这一情形中——就此得到解决（Plus Magazine, UChicago News).

2. 从非线性色散系统推导波动动理学方程

在攻克气体问题之前，Deng 和 Hani 先研究了波动方程中的一个类似问题。物理学家长期以来相信：如果从非线性 Schrödinger 方程（描述量子系统中波如何相互作用）出发，放大视角去看大量波的平均行为，应该能得到波动动理学方程——这是对波湍流更高层次的描述，就像海浪中能量如何逐级传递（Quanta Magazine).

Deng 和 Hani 严格证明了这一点：他们把波动方程的解表示成树状图之和，再以近乎外科手术般的精度估计每一棵树的贡献。正如 Courant Institute 的 Jalal Shatah 所说："These estimates were beyond anyone's ability"（中译：这些估计超出了任何人的能力范围）（Quanta Magazine）。这一成果于 2023 年发表于Inventiones mathematicae，是 Lanford 定理的波动版本——也正是在这项工作中，Deng 建立起后来用于推导 Boltzmann 方程的图解方法论。

3. 非线性 Schrödinger 动力学的概率方法

Deng 还在随机初值问题上做出了根本性贡献——这类问题针对偏微分方程展开：如果一个偏微分方程的初始数据是随机的（波动剧烈振荡，甚至带有间断点），我们还能否证明方程存在解？Deng 与 Andrea Nahmod（UMass Amherst）、Haitian Yue 合作，证明了Gibbs 测度（一种刻画热平衡的概率规则）对二维非线性 Schrödinger 方程是不变的。他们的关键创新是随机张量理论——一套用来分析解中剧烈振荡部分的框架，这些部分此前对已有方法而言过于复杂而难以处理（Quanta Magazine).

不妨这样想：在格斗中，面对一个动作难以预测的对手，你要么试图预判他的每一个具体动作（传统的确定性思路），要么去学习其中的统计规律——哪些招式更可能出现，哪些组合很罕见——并把策略建立在概率之上。Deng 正是把这种概率化的思维方式带入了原本以确定性为主导的波动方程世界。

为什么这项工作具有变革性

Deng 的工作贯通了物理学的三个尺度——微观（粒子动力学）、介观（动理学理论）与宏观（流体力学）——并且达到了数学家们苦苦追寻一个多世纪的严格程度。IMU 的颁奖辞将其描述为"a leap forward in a centuries-long quest by mathematicians and physicists to derive the basic laws of physics from first principles"（中译：在数学家与物理学家历经数百年、试图从第一性原理推导物理基本定律的求索之路上，这是向前迈出的一大步）（Plus Magazine).

Deng 所发展出的方法论——树状图分解、「分子切割」算法、随机张量理论——绝非一招鲜的独门绝技，而是一整套新工具，已被应用到偏微分方程理论、统计物理与随机分析等多个领域。数学界最负盛名的阐释性讲坛 Séminaire Bourbaki，在这项成果问世不到两年内便为其专设了一场研讨，这本身即是其影响力的有力证明（arXiv:2602.04407).

动画（作者辅助演示）：关键思想与机制——抖动的粒子（微观 · 牛顿）通过「分子切割 + 相消树图」被焊接到统计直方图（中观 · Boltzmann），再焊接到平滑的波（宏观 · 流体）；三个尺度依次点亮，流动的箭头标出严格证明的推导方向。

10 篇最具影响力的相关论文

Yu Deng 的核心论文

先驱性基础工作

当下影响与后续进展

研讨班讨论题

John Pardon——辛几何

所属机构：石溪大学（Stony Brook University）几何与物理西蒙斯中心（2015 年斯坦福博士，2011 年普林斯顿学士）
获奖年龄： 37

官方颁奖辞：

"For his achievements in symplectic geometry, including new approaches to virtual fundamental cycles, Fukaya categories of Liouville manifolds and counting holomorphic curves, and for his contributions to other areas of geometry and topology, including group actions on 3-manifolds and knot theory."（中译：表彰他在辛几何领域的成就，包括对虚基本闭链的全新方法、Liouville 流形的深谷范畴与全纯曲线计数，以及他在几何与拓扑其他领域——包括三维流形上的群作用与纽结理论——所做的贡献。）
— (（Simons Foundation）)

领域介绍：辛几何

想象你正在攀岩：你在岩壁上的位置，加上你的动量（移动的速度和方向），共同构成了你在任一时刻的完整状态。所有可能的（位置，动量）组合构成的空间，叫做相空间——辛几何研究的正是相空间的几何（Quanta Magazine）).

在相空间里，位置和动量像在跳双人舞：一个变了，另一个必须跟着响应。这种关系——即辛结构——比刚性的欧几里得几何（形状的角度和距离都固定）更灵活，却又比拓扑学（形状可以随意拉伸压缩）更受约束。可以这样类比：欧氏几何像一条支点固定死板的攀岩路线，辛几何像支点可移动、但整体结构不变的路线，拓扑学则像什么都行的自由攀爬。

辛几何起源于经典力学（Hamilton 的表述），如今已成为现代数学中最深刻、最活跃的领域之一，与弦理论、镜像对称、量子物理都有深刻联系。

获奖贡献

Pardon 的菲尔兹奖章表彰了他在辛几何、纽结理论与几何拓扑领域接连取得的一系列突破：

1. 虚基本闭链（博士论文工作）

辛几何中许多问题最终都归结为计数——具体来说，就是数一数辛流形（symplectic manifold）上某类曲线（叫作伪全纯曲线）的条数，这有点像数攀岩墙上满足特定条件的路线共有几条。但问题来了：有些曲线并不与流形「横截」相交（干净地穿过去），而只是切向地「蹭」一下——这时候数出来的数字就不对了（Quanta Magazine).

数学家们发展出各种权宜之计，统称为「虚拟基本循环」（virtual fundamental cycles）——用来扰动或重组计数方式，专门应付这类棘手的切点问题。但每种方法都各有局限。Pardon 在 2015 年斯坦福的博士论文里（导师为 Yakov Eliashberg）开发出一套全新的代数方法，核心概念是一种「隐式图册」（implicit atlas）——一个基于层论的框架，能给出局部的有限维简化。Leonid Polterovich 这样评价："It was clean. It was powerful"（中译：干净利落，威力十足）（Quanta Magazine).

这一影响立竿见影。Mohammed Abouzaid 说这篇论文"made it possible for many people to stop worrying about things. It was immediately impactful"（中译：让很多人不必再为某些事情担心，影响立刻显现）（Quanta Magazine）。Eliashberg 也指出："a kind of foundation for certain parts of symplectic field theory are built on his machinery."（中译：辛场论的某些部分，其基础正建立在他这套机制之上。）在一个因基础严谨性问题而陷入「慢性危机」的领域里，Pardon 的工作平息了争议，提供了一个坚实的平台。

2. MNOP 猜想（2023）

这是 Pardon 最广为人知的单项成果。在一个卡拉比—丘三维空间（Calabi-Yau 3-fold）上——这是一种复维数为 3（实维数为 6）的形状，在某些弦论模型中用来描述隐藏紧化维度的几何——存在两种截然不同的曲线计数方法：

• Gromov-Witten 不变量（由 Gromov 和 Witten 提出）：按曲线的 genus（曲线上「洞」的个数）分类计数
• Donaldson-Thomas 不变量（由 Donaldson 和 Thomas 提出）：按另一种性质分类计数

这两种方法给出的数列完全不同。但在 2003 年，四位数学家——Maulik、Nekrasov、Okounkov 和 Pandharipande——猜测这两个数列其实是同一个函数按两种不同方式展开后得到的系数（Plus Magazine, Quanta Magazine).

打个比方，这就像发现格斗比赛里两种完全不同的计分系统——一种按有效打击数计，另一种按控制时间计——其实暗中衡量的是同一种表现，只是角度不同。MNOP 猜想说的正是：这两种计数方式，其实是同一件事的两种伪装。

整整二十年，没人能证明它。直到2023年夏天，Pardon 把一份证明贴到了网上，证明了 MNOP 猜想在所有具有 nef 反canonical 线束的复三维体（包括所有 Calabi-Yau 三维体）上、带主插入项时成立。该领域专家 Jim Bryan 说这份证明来得"out of nowhere" (中译：完全出乎意料)，还说"would have dismissed it entirely if not for Pardon's reputation" (中译：若不是因为 Pardon 的名声，他本会直接把这份证明当作无稽之谈)。这份证明用到了数学中完全不同领域的工具，并创造出一种新的数学结构，现在被称为「Pardon 代数」 (Quanta Magazine）。Bryan 称之为"the biggest result in enumerative algebraic geometry for the last 20 years" (中译：过去二十年枚举代数几何领域最重大的成果)，并说它"rewires the way he thinks about the entire subject" (中译：让他重新理清了对这整个学科的思考方式)。

3. Liouville 流形的 Fukaya 范畴（与 Ganatra、Shende 合作）

Fukaya 范畴是一种编码流形辛几何信息的代数结构——就像一本字典，把几何信息（关于 Lagrangian 子流形及其交点）翻译成代数信息（关于对象、态射与合成）。Pardon 与 Sheel Ganatra、Vivek Shende 一起构造出了Liouville 扇区的 wrapped Fukaya 范畴，并赋予其一个关键性质，叫做协变函子性——也就是说，这一构造在空间之间的映射下表现良好，而这正是真正能进行计算的前提（Quanta Magazine).

4. 结理论与三维流形上的群作用

早在辛几何工作之前，Pardon 还是普林斯顿本科生时就已引起轰动：他解决了 Gromov 在1983年提出的一个关于结的扭曲度的问题——即沿结的路径距离与结上两点间直线距离之比。Pardon 证明了环面结的扭曲度可以任意大，也就是说无论怎样重新摆放，它们都可以被缠绕得任意复杂。这一成果发表在Annals of Mathematics上——对一名本科生来说，这是极为罕见的成就（Quanta Magazine）。他还证明了三维流形的希尔伯特-史密斯猜想，证明了任何在三维流形上忠实作用的局部紧群必定是李群（arXiv:1112.2324).

为什么这具有变革性

Pardon 的特点是能看出别人看不出的、不同数学领域之间的联系。他不只是解决一个个孤立的问题，而是搭建起了框架：关于虚基本环的工作，为整个辛几何领域打下了严格的基础；对 MNOP 猜想的证明，也不止于敲定一个猜想，还引入了全新的数学结构「Pardon 代数」，如今已被其他研究者用来继续推进；他与人合作的 Fukaya 范畴工作，则提供了让辛几何真正可以拿来计算的基础设施。

菲尔兹奖颁奖词写道："Pardon is a mathematician of extraordinary depth and originality, who has repeatedly had a significant impact on the fields of topology and symplectic geometry. He has both contributed to fundamental structure and solved problems that had stymied the community for decades"（中译：Pardon 是一位有着非凡深度与原创性的数学家，多次在拓扑学与辛几何领域产生重大影响。他既贡献了基础性的结构，也解决了困扰学界数十年的难题）（Plus Magazine).

动画（作者手绘辅助）：关键思路与运作机制——蓝色圆圈（GW，按亏格分类）与绿色方块（DT，按另一种性质分类）各自独立计数；两束光汇聚成一张脉动的「分割函数 Z」卡片：两串数列，一个函数，两种展开方式。

10 篇最具影响力的相关著作

John Pardon 的核心论文

基础性前置工作

当前影响与后续研究

研讨问题

Jacob Tsimerman——数论与算术几何

所属机构：University of Toronto（2011年博士毕业于Princeton，导师为Peter Sarnak）。
获奖年龄： 38

官方颁奖词：

"For his role in the vast extension of the scope of o-minimal techniques within arithmetic and complex algebraic geometry, including the proof of Griffiths' conjecture on the algebraicity of images of the period maps."（中译：表彰他在算术与复代数几何中大幅拓展了o-极小技巧的应用范围，包括证明了Griffiths关于周期映射像的代数性猜想。）
— (（Simons Foundation）)

该领域：数论与算术几何

数论研究的是整数及其性质——素数、整除关系、方程的解。算术几何则把几何引入其中：与其直接摆弄方程，不如去研究这些方程所定义的形状（代数簇）。这就像攀岩者不会只盯着路线上的每一个支点，而是着眼于整面岩壁的几何结构——那些悬岩、裂缝、内角——因为几何本身会揭示出路线该往哪里走。

算术几何中的一个核心主题，是研究special points（特殊点） —— 几何形状上携带着格外丰富算术信息的点，可以把它们看作几何体的「压力点」：深层结构汇聚于这些具体而微小的位置。问题是：当你发现许多这样的特殊点时，这能告诉你关于它们所在形状的什么信息？

志村簇（Shimura varieties） 是一类参数化阿贝尔簇族（椭圆曲线的高维推广）的几何空间，是极其丰富的对象，编码着深层的算术信息。Hodge 理论，形成于20世纪中叶，把几何问题翻译成分析问题——就像把一个攀岩问题从「支点在哪里」翻译成「作用力是什么」——Tsimerman 的工作正展开在这种翻译之上。

获奖贡献

Tsimerman 的菲尔兹奖表彰他极具变革性地运用了o-极小性（o-minimality）——这个源自数理逻辑的概念——来解决数论与代数几何中的深层问题：

1. André-Oort 猜想

该猜想由 Yves André 与 Frans Oort 于上世纪90年代提出，关注的是志村簇上的特殊点。其预言是：如果志村簇的一个不可约子簇包含一个稠密的特殊点集合（称为CM点），那么这个子簇本身必定是特殊的（ScientiaMag）。换句话说：如果你在一块几何体上发现足够多聚集的「压力点」，那么这块几何体本身就必定是一个特殊的、高度结构化的对象。

这类似于武术中的一个原则：如果一名格斗者总是习惯性地暴露某个特定部位，那是因为他的站姿与移动方式正是为了保护另一处要害而构建的——弱点恰恰暴露了结构。

这一猜想的攻克运用了Pila-Zannier 策略，该策略于2008年提出：从上方（用o-极小几何）和下方（用伽罗瓦轨道估计）分别对特殊点计数，再加以比较。Tsimerman 于2018年证明了该猜想在阿贝尔簇模空间（A_g）上的情形，随后又与 Jonathan Pila、Arul Shankar 一起，于2021年证明了适用于所有志村簇的完整 André-Oort 猜想（arXiv:2109.08788, ScientiaMag).

2. 关于周期映射的 Griffiths 猜想

1970 年，Phillip Griffiths 猜想：周期映射——将代数簇的几何数据翻译成解析（Hodge 理论）数据的映射——其像应当总是代数簇，也就是由多项式方程定义的形状。这意味着，即便把几何翻译成分析，底层的代数结构依然会留存下来（Plus Magazine).

Tsimerman 与 Benjamin Bakker、Yohan Brunebarbe 于 2018 至 2023 年间证明了这一猜想，关键创新是「o-极小 GAGA」——一个 GAGA 型定理（得名于 Serre 的《代数几何与解析几何》），针对可在某个 o-极小结构中定义的复代数空间上的凝聚层而设。这从根本上把 o-极小几何与代数几何、Hodge 理论连接了起来（arXiv:1811.12230).

3. Shimura 簇上的 Ax-Schanuel 定理

Tsimerman 与 Ngaiming Mok、Jonathan Pila 合作证明了Ax-Schanuel 定理对所有（纯）Shimura 簇成立——这是一个函数超越性命题，控制着子簇在单值化映射下原像的代数部分，是 Pila-Zannier 策略中不可或缺的一环，就好比制定进攻方案之前，得先精确知道对手的防守能从哪些地方「打穿」（arXiv:1711.02189).

什么是 o-极小性？

一个o-极小结构是一个由「可定义集合」组成的宇宙，其中一维可定义子集只能是有限个点与区间的并集——没有无穷振荡的边界，没有分形式的病态。更高维的可定义集合，也从这条一维的驯化条件中继承了强大的驯顺性质。用 Tsimerman 自己的话说："It makes precise the notion of what a tame geometry is"（中译：它把「什么是驯顺的几何」这一概念变得精确）（Plus Magazine).

Tsimerman 贡献的过人之处，在于他看出这件本为研究几何基础而生的数理逻辑工具，竟可以被当作数论中的利器来挥舞。这就像一位游泳者从攀岩中学到「读懂岩壁纹理与结构」的技巧，结果发现它反而让自己更能看懂泳池壁附近水流的走向——正是这种跨领域的迁移，让这项工作显得如此具有变革性。

为什么这项工作意义深远

Tsimerman 做的不只是解决一个个孤立的问题，他搭建起一整套基础设施——周期映射的可定义性、Ax-Schanuel 定理、o-极小 GAGA——如今已成为算术几何领域的标准工具箱。他的成果与Hodge 猜想——七个百万美元千禧年大奖难题之一——有着深刻的关联（Simons Foundation）。o-minimal 框架如今已被用于混合周期映照、Shafarevich 猜想、双有理几何，以及 Calabi-Yau 簇的研究。

多伦多大学指出，他的工作「开辟了全新的研究方向」，并影响了「函数超越理论、Hodge 结构的 Ax-Schanuel 定理，以及所谓『不可能交』的研究」（U of T News).

动画（作者手绘辅助）：关键思想与机制——左侧无限振荡的「野生」曲线穿过 o-minimal 透镜后变得驯顺，化为有限个点与区间的并集；两道蓝色箭头分别从上方（o-minimal 点计数）与下方（Galois 轨道下界）夹逼而来，这正是 Pila-Zannier 策略的核心。

10 篇最具影响力的相关文献

Jacob Tsimerman 的核心论文

基础性先驱工作

当前影响与后续研究

研讨会讨论题

Hong Wang——调和分析与几何测度论

所属机构：NYU 库朗研究所（Courant Institute）与 IHES（2019 年获 MIT 博士学位，导师为 Larry Guth）
获奖年龄：35 岁，是继 2014 年 Maryam Mirzakhani、2022 年 Maryna Viazovska 之后，历史上第三位获得菲尔兹奖的女性

官方颁奖词

"For her work in harmonic analysis and geometric measure theory, including applications of multiscale and decoupling techniques to the local smoothing conjecture for the planar wave equation, and major advances in Fourier restriction, Falconer distance sets, Furstenberg sets in the plane, and the Kakeya problem in three dimensions."（中译：因其在调和分析与几何测度论方面的工作，包括将多尺度与解耦技巧应用于平面波动方程的局部光滑化猜想，以及在傅里叶限制、Falconer 距离集、平面 Furstenberg 集与三维 Kakeya 问题上取得的重大进展。）
— (Simons Foundation)

该领域：调和分析与几何测度论

调和分析是一门把事物拆解成波的艺术。19 世纪，Joseph Fourier 发现：任何声音——无论多复杂——都能分解成一系列简单正弦波之和。这正是 MP3 能压缩音乐的原理：它存储的是波的成分，而非原始信号。调和分析把这一思想推广到了远为广阔的数学场景中（Plus Magazine).

可以把它想象成一位武术家，把一套复杂的组合拆解成一个个单独的招式：刺拳、直拳、勾拳、踢腿。每个动作本身都很简单，复杂性来自组合的方式。调和分析研究的正是分解（拆成波）与合成（把波重新拼回去）这两个方向，追问的是：从波的成分中，我们能对原始对象说出什么？

几何测度论把微积分的工具延伸到不光滑的形状上——比如分形、肥皂泡簇，或是调和分析中出现的那些极不规则的集合。其中的核心概念是豪斯多夫维数（Hausdorff dimension），它衡量一个物体的“大小”如何随尺度变化：一条线的豪斯多夫维数是 1，一个正方形是 2。但分形可以拥有非整数维数——比如科赫雪花（Koch snowflake）的维数约为 1.26（Plus Magazine).

获奖贡献

Wang 的菲尔兹奖表彰的是一整片突破性成果，其中一项堪称里程碑：

1. 三维 Kakeya 猜想（与 Joshua Zahl 合作）

1917年，日本数学家角谷静夫（Sōichi Kakeya）提出了一个问题：要让一根针指向所有可能的方向，旋转它所需的最小面积是多少？你可能会以为圆形就够了，但角谷找到了一个更小的形状。两年后，Abram Besicovitch 展示了一件令人震惊的事：只要让针以类似分形的分支模式滑动并轻微扭转，就能让这个面积任意小——甚至为零（Plus Magazine).

这引出了一个更深的问题：如果面积可以为零，那么维度又如何呢？角谷猜想（Kakeya conjecture）预言：即便一个角谷集合的体积为零，它的 Hausdorff 维度仍必须尽可能大——等于它所处空间的维度。在二维情形，Roy Davies 早在1971年就用短短几页证明了这一点。但在三维及更高维度中，这个问题五十多年悬而未决。

2025年2月，Wang 与 Joshua Zahl（南开大学）发表了一份长达127页的证明，证明了 R³ 中每一个角谷集合的 Hausdorff 维度恰好为3（arXiv:2502.17655, IHES）。证明的思路是：三维空间中一族细管唯一能够严重重叠的方式（也正是角谷集合中发生的情况），是聚集成凸集，然后再限定这些凸集的维度。

这项证明建立在此前几项突破之上。首先，Wang 和 Zahl 在2022年证明了「黏性角谷」情形——具有多尺度自相似性的集合（arXiv:2210.09581）。随后在2025年，他们证明了一般情形可以归约到黏性情形。整个论证融合了多尺度几何分析、关联组合学，以及对三维空间中管状物重叠方式的深刻理解。

2. 平面上的 Furstenberg 集合猜想（与 Kevin Ren 合作）

A Furstenberg 集合是这样一种集合：在许多方向上，它都包含该方向上直线的分形片段——这是一种类似角谷猜想的条件，但关注的是与直线的维度交集，而非旋转一根单位长的针。Wang 与 Kevin Ren 于2023年彻底解决了 R² 上的 Furstenberg 集合猜想，证明了精确的维度界（arXiv:2308.08819）。这里发展出的多尺度「黏性归约」思路，直接影响了三维角谷问题的求解策略。

3. 平面波动方程的局部光滑化猜想（与 Larry Guth、Ruixiang Zhang 合作）

局部光滑猜想 问的是：一个波扩散开之后，是否会在局部“变光滑”——也就是说，在任意给定区域内，它是否会比初始时刻更规则？Wang、Guth 和 Zhang 通过对 R³ 中锥面给出的一个尖锐 L⁴ 平方函数估计，证明了 2+1 维波动方程满足这一猜想（arXiv:1909.10693），这是首次在任意维度上完整解决局部光滑猜想。

4. Falconer 距离集问题（与 Guth、Iosevich、Ou 合作）

Falconer 猜想 问的是：如果平面上一个点集的 Hausdorff 维数大于 1（在 R^d 中一般阈值为 d/2），那么这些点对之间的距离构成的集合是否必然具有正测度？Wang 及合作者证明：只要维数超过 5/4，钉定距离集就具有正测度，这是该猜想的一项重大进展（arXiv:1808.09346).

5. Fourier 限制性问题（与 Shukun Wu 合作）

Fourier 限制性猜想 问的是：能否把 Fourier 变换限制在一个弯曲的曲面（比如球面）上，仍然得到一个有界算子？这对理解波如何与弯曲边界相互作用至关重要。Wang 和 Wu 提出了一个新框架，将解耦理论与双端 Furstenberg 不等式结合，得到了新的限制性估计（arXiv:2411.08871).

为什么它具有变革性

Wang 把自己的领域描述为存在一座「猜想之塔」（Plus Magazine）：Kakeya 猜想位于塔底，它蕴含 Fourier 限制性猜想，后者又蕴含局部光滑猜想，再往上还蕴含关于 PDE 的更多结果。如果 Kakeya 猜想被推翻，整座塔都会坍塌。通过证明三维 Kakeya 猜想，Wang 不只是解决了一个问题——她为调和分析、PDE 与几何测度论中的整座结果之塔提供了“地基级别的支撑”。

此外，Wang 所开发的方法——多尺度分析、“黏性”化简，以及入射组合学与几何测度论之间的相互作用——已经被应用到更高维度及相关问题中。正如 Wang 本人所说："In Fourier analysis we have a tower of conjectures. The Kakeya conjecture lies at the bottom of three other conjectures, one implying the other. If you disprove the Kakeya conjecture, then you disprove the whole tower"（中译：在 Fourier 分析中，我们有一座猜想之塔，Kakeya 猜想位于另外三个猜想之下，一个蕴含另一个——推翻 Kakeya 猜想，就等于推翻整座塔）（Plus Magazine).

该问题在四维及更高维度上仍然悬而未决，前沿仍在召唤。

动画（作者手绘辅助）：核心思路与机制——一根针在圆盘内扫过每一个方向（面积可以为零）；维数计量表被推到满格 3.00；猜想塔从其基座（Kakeya）开始依次点亮：基座若塌，全塔皆塌；基座已证，塔身立稳。

10 篇最具影响力的相关论文

Hong Wang 的核心论文

基础性先驱工作

研讨问题

2026 年菲尔兹奖告诉我们数学的什么？

纵观这四位得主，几个共同的模式浮现出来：

一、跨领域的桥梁。 每一位得主都在看似无关的领域之间架起了桥梁：Deng 把概率论和偏微分方程连了起来，Pardon 把代数和辛几何连了起来，Tsimerman 把数理逻辑和数论连了起来，Wang 把几何测度论和调和分析连了起来。最具变革性的数学，往往就发生在学科的边界上——就像一个格斗家，从柔道、拳击、摔跤里各取所长，融合出自己的新东西。

二、解决的是深层问题，而不只是推进了一步。 每位得主解决的都是悬而未决数十年的问题——希尔伯特第六问题（1900 年）、MNOP 猜想（2003 年）、André-Oort 猜想（上世纪 90 年代）、Kakeya 猜想（1917 年）。这些都不是小修小补，而是为定义了整个领域的长篇故事画上句号。

三、创造了新工具。 除了解决具体问题，每位得主都锻造出了新的数学机器——随机张量（Deng）、Pardon 代数与隐式图册（Pardon）、o-极小 GAGA（Tsimerman）、粘性归约与多尺度管道分析（Wang），这些工具已经被其他数学家用来继续向前推进。

四、物理与数学的交织。 Deng 的工作把物理方程扎根在第一性原理之上；Pardon 研究的 Calabi-Yau 流形，正出现在弦论对隐藏维度的建模里；Wang 的 Kakeya 猜想则支撑着我们对波传播的理解。数学在描述物理世界时展现出的“不合理的有效性”，至今依然神秘，也依然多产。

五、数学的全球性。 2026 年的得主分别来自中国（Deng、Wang）、美国（Pardon）和加拿大（Tsimerman，生于俄罗斯）。其中两位是中国国籍——这是持中国国籍的数学家首次获得菲尔兹奖（1982 年获奖的丘成桐虽是华裔，但当时已是美国公民）。Wang 则是这枚奖章90年历史上第三位女性得主（CNN, Simons Foundation）。数学，正越来越成为一项真正全球性的事业。

展望未来

2026年菲尔兹奖得主们不仅解决了悬而未决的老问题，还开辟了新的疆域。Deng 的方法或许可以推广到更复杂的流体与等离子体；Pardon 的框架可能解锁更多枚举几何猜想；Tsimerman 的 o-minimal 工具箱正推向双有理几何；而 Wang 对三维 Kakeya 问题的证明，也提出了一个迫切的问题：这些方法能否推进到四维乃至更高维度？

对于那个年轻的数学家来说——那个在泳池里看见波浪、在岩壁上看见路线、在垫子上看见策略的人——道理很清楚：最深刻的数学，往往生长在不同世界交汇的地方。2026年的这几位菲尔兹奖得主，不只是爬得更高，他们找到了新的山脉。

动画（作者手绘辅助）：四座桥依次架起——概率论↔偏微分方程（Deng）、代数↔辛几何（Pardon）、逻辑↔数论（Tsimerman）、几何测度论↔调和分析（Wang）。

速查表——四位奖得主

本简报整理自 IMU 官方颁奖词、各大学新闻稿、Quanta Magazine 人物专访、Plus Magazine 科普解读，以及 arXiv 预印本。文中出现的 arXiv 编号与期刊出处，均已与多方来源交叉核实。

资料来源：Simons Foundation · Quanta Magazine — Deng 专访 · Quanta Magazine — Pardon 专访 · Plus Magazine — Deng 解读 · Plus Magazine — Pardon 解读 · Plus Magazine — Tsimerman 解读 · Plus Magazine — Wang 解读 · IHES — Wang · UChicago News — Deng · U of T News — Tsimerman · ScientiaMag — Tsimerman · Princeton University · Stanford Mathematics · Scientific American · CNN · NYT — Tsimerman · NYT — Wang · NYT — Deng · arXiv