2026年フィールズ賞受賞者：
機関向けリサーチブリーフィング

数学に何が起きたのか？

2026年7月23日、フィラデルフィアで開催された国際数学者会議（ICM）にて、国際数学連合は「数学のノーベル賞」とも呼ばれるフィールズ賞を、40歳未満の4人の数学者に授与した（Simons Foundation）。各受賞者が解いた問題は、数十年——場合によっては1世紀以上——にわたって世界最高の数学者たちを退けてきたものだった。

数学を巨大な山脈だと考えてみてほしい。誰もが目にできる頂——景観にそびえ立つ有名な未解決問題——がある。そして、下から見ると無関係に見える峰々をつなぐ隠れた稜線がある。さらに、ほとんどの登山者がその存在すら知らないのに、実は頂上への鍵となる道筋を秘めている、技法の谷が丸ごと存在する。

2026年のフィールズ賞受賞者4人は、単に頂に登っただけではない。彼らは地図そのものを書き換える新しい道筋を切り拓いたのだ。

• Yu Dengは、何十億もの粒子が織りなす混沌としたダンスから、流体力学の滑らかで予測可能な方程式が真に導かれることを証明した——David Hilbertが1900年に掲げた夢を完成させたのだ（UChicago News).
• John Pardonは、六次元図形——弦理論において私たちの宇宙をモデル化しうる図形——上の曲線を数える、まったく異なる二つの方法が、実は同じものを数えていることを証明し、20年来の予想に決着をつけた（Quanta Magazine).
• Jacob Tsimermanは数理論理学から道具を一つ輸入した——「従順な幾何学」とは何かを厳密に定式化する「o-極小性」という概念だ——そしてそれを使って、1970年代から未解決だった数論の予想を証明した（Plus Magazine).
• Hong Wangは、三次元空間であらゆる方向を向くように回転する針が、必ずフルディメンションの集合を掃き出すことを証明した——1917年に提起された問題を解決し、調和解析における予想の塔への扉を開いたのだ（Plus Magazine, IHES).

本ブリーフィングでは各受賞者について、専門分野、解決した問題、その意義、そして研究系譜を形づくる最も影響力の大きい10本の文献――本人と先人たちのもの――を詳しく取り上げる。

アニメーション（著者によるヒント）：4本の新しいルートが山脈に自ら描き込まれ、陥落した頂に4本の旗が立つ――彼らは地図そのものを書き換えたのだ。

Yu Deng ― 偏微分方程式

所属：シカゴ大学（元USCドーンサイフ；プリンストン大学Ph.D. 2015年）
受賞時年齢： 37

公式引用文

"For his work in partial differential equations, including the rigorous derivation of the Boltzmann equation from hard-sphere dynamics for rarefied gases, the derivation of wave kinetic equations from nonlinear dispersive systems, and probabilistic approaches to nonlinear Schrödinger dynamics."（訳：希薄気体の硬球力学からのボルツマン方程式の厳密な導出、非線形分散系からの波動運動論方程式の導出、非線形シュレディンガー力学への確率論的アプローチを含む、偏微分方程式における業績に対して）
— (サイモンズ財団)

分野：偏微分方程式（PDE）

海で泳いでいる場面を想像してほしい。周りの水は静止していない――近くで見れば混沌としているのに、より大きなスケールではどこか秩序立ったパターンで動き、渦を巻き、砕ける。流体や気体、波がどう変化するかを記述する方程式は偏微分方程式（PDE）と呼ばれる。PDEは、あるものが空間と時間の両方にわたって同時にどう変化するかを記述する――「ボールはどれくらいの速さで落下するか」（これは常微分方程式の話だ）ではなく、「時間が経つにつれて金属板の温度はどう広がっていくか」（UChicago News).

PDEは物理学が語る言語だ。熱方程式、波動方程式、流体力学のナビエ–ストークス方程式、量子力学のシュレディンガー方程式――どれもPDEである。しかしPDEを厳密に解くのは悪名高いほど難しい。方程式を書き下すことはできても、解が存在すること、それが物理学の予測どおりに振る舞うこと、そしてそれについて実際に精密な言明ができることを証明する――そここそが数学の難所なのだ。

Dengの仕事はPDEと確率論の交差点に位置する。彼は柔軟で確率論的な視点を、波動方程式という硬直した構造化された世界に持ち込んだ――武術家の流動的な適応力を、硬い型（形）の中に持ち込むようなものだ。Deng自身はこう語っている。"There is a lot of randomness in this world, and we need a mathematical way to capture it"（訳：この世界にはたくさんのランダム性があり、それを捉える数学的な方法が必要なのだ）（UChicago News).

受賞対象となった業績

Dengのフィールズ賞は、互いに絡み合う3つのブレークスルーを評価したものだ。

1. 剛体球力学からのボルツマン方程式の導出（ヒルベルトの第6問題）

1900年、David Hilbertは今後100年の数学を形作ることになる23の問題を提示した。その第6問題はこう問うている——個々の粒子の運動という第一原理から出発して、物理学の方程式、とりわけ流体力学の方程式を導出できるだろうか？（Plus Magazine)

イメージはこうだ。何十億個もの微小な剛体球がビリヤードの球のように互いにぶつかり合ってできる気体を思い浮かべてほしい。微視的なレベルでは、各粒子はニュートンの法則に従う——決定論的で、個々の粒子については予測可能だ。ところが巨視的なレベルになると、気体はボルツマン方程式（1872年）に従って振る舞い、温度・圧力・速度が統計的平均として記述される。そしてさらに最大のスケールでは、気体はナビエ–ストークス方程式 (UChicago News).

その連鎖とは、すなわちニュートン → ボルツマン → ナビエ–ストークスである。Hilbertは、この各リンクを数学者たちに厳密に証明してほしいと望んだ。

第2のリンク（ボルツマン→ナビエ–ストークス）はすでに理解されていた。難しかったのは第1のリンク（ニュートン→ボルツマン）である。1975年、Oscar Lanfordがこれを証明した——ただしごく短い時間についてのみで、その短さたるや「100万個に1個の粒子しか衝突を経験していないと見込まれる」（Plus Magazine）ほどだった。それより長い時間になると、粒子は繰り返し衝突し、複雑な共有履歴を積み上げていく——何ラウンドも戦い抜いた末に互いの動きを読み合うようになったスパーリング相手のようなものだ。ボルツマンが依拠していた独立性の仮定は、ここで崩れてしまう。

Dengは、Zaher Hani（University of Michigan）とXiao Ma（Princeton）とともに、この問題を打ち破った。彼らの核心的洞察は——Dengがロードアイランド州プロビデンスの韓国風フライドチキンの屋台で思いついたものだが（UChicago News）——長い時間区間を短い区間に分割し、精緻な「分子切断」アルゴリズムを用いて衝突パターンの組み合わせ的爆発を制御するというものだった。彼らは衝突履歴を木構造の図（物理学のファインマン図を彷彿とさせる）として表現し、長時間にわたって木が無限に複雑化していくにもかかわらず、その寄与が制御された形で打ち消し合い、組み合わさっていくことを示した（Quanta Magazine).

その成果として、2024〜2025年にかけてDeng・Hani・Maは200ページに及ぶ証明を発表し、（ボルツマン–グラート仮定のもとで該当するボルツマン解が存在する限り）任意の長時間について剛体球力学からボルツマン方程式を導出し、さらにこのモデル設定においてニュートンからナビエ–ストークスに至る厳密な道筋を完成させた。ヒルベルトの第6問題は——少なくともボルツマン–グラート極限における希薄な剛体球気体の場合については——解決された（Plus Magazine, UChicago News).

2. 非線形分散系からの波動運動論方程式の導出

気体に取り組む前、Deng と Hani は波に関する類似の問題に取り組んでいた。物理学者は長らく、非線形シュレディンガー方程式（量子系での波の相互作用を記述する）から出発し、多数の波の平均的な振る舞いへとズームアウトすれば、波動運動論方程式――海の波を通じてエネルギーがカスケードする様子のような、波の乱流をより高次のレベルで記述するもの――が得られるはずだと信じてきた（Quanta Magazine).

Deng と Hani はこれを厳密に証明した。彼らは波の解を木構造の図の和として表現し、ほぼ外科手術的な精度で各々の木の寄与を評価した。Courant Institute の Jalal Shatah はこう述べている。"These estimates were beyond anyone's ability"（訳：この評価は誰の能力をも超えていた）（Quanta Magazine）。この結果はInventiones mathematicae誌に2023年に発表され、Lanford の定理の波版に相当するものであり、Deng がのちにBoltzmann方程式の導出に応用することになる図式的手法を確立した。

3. 非線形シュレディンガー方程式に対する確率論的アプローチ

Deng はPDEにおけるランダム初期値問題にも本質的な貢献をした。PDEにランダムな初期値――激しく振動する波や不連続点を持つもの――を与えたとき、それでも方程式に解が存在すると証明できるのか。Deng は Andrea Nahmod（UMass Amherst）と Haitian Yue とともに、ギブス測度（熱平衡をモデル化する確率則）が2次元非線形シュレディンガー方程式に対して不変であることを証明した。彼らの核心的なイノベーションはランダムテンソルの理論――それまでの手法では手に負えなかった、解の激しく振動する部分を解析するための枠組み――だった（Quanta Magazine).

こう考えるとわかりやすい。格闘技では、予測不能な動きをする相手に対して、個々の一手を予測しようとする（従来型の決定論的アプローチ）か、あるいは統計的パターン――どの動きがよく出るか、どの組み合わせが稀か――を学んで、その確率をもとに戦略を組み立てるかの二通りがある。Deng はこの確率論的な思考を、決定論的な波動方程式の世界に持ち込んだのだ。

なぜ革新的なのか

Deng の研究は物理学の三つのスケール――微視的（粒子力学）、中間的（運動論）、そして巨視的（流体力学）――を橋渡しし、しかも数学者たちが一世紀以上求め続けてきた厳密さをもってそれを成し遂げた。IMU の受賞理由は、これを "a leap forward in a centuries-long quest by mathematicians and physicists to derive the basic laws of physics from first principles"（訳：物理学の基本法則を第一原理から導出しようとする、数学者と物理学者による数世紀にわたる探求における飛躍的な前進）と表現している（Plus Magazine).

Deng が開発した方法論――木構造分解、「分子切断」アルゴリズム、ランダムテンソル理論――は、単発の解決策にとどまるものではない。PDE理論、統計物理学、確率解析にすでに広く応用されている、まったく新しいツールキットなのだ。数学における最も権威ある解説の場であるセミネール・ブルバキは、この成果が登場してからわずか2年のうちに、これをテーマとしたセミナーを開催した――その研究が持つ変革的な影響力の強力な証左である（arXiv:2602.04407).

アニメーション（著者による補助）：鍵となる考え方と仕組み——ジッターする粒子（ミクロ・Newton）が「分子の切断＋打ち消し合う木構造図」によって統計ヒストグラム（メゾ・Boltzmann）に溶接され、そこから滑らかな波（マクロ・流体）へとつながる。三つのスケールが順番に光り、流れる矢印が厳密に証明された導出の方向を示す。

影響力の大きい関連研究 10選

Yu Dengによる主要論文

先行研究

現在への影響と後続研究

セミナー討論のための問い

John Pardon — シンプレクティック幾何学

所属：ストーニーブルック大学、Simons Center for Geometry and Physics（博士号はStanford、2015年取得／学士号はPrinceton、2011年取得）
受賞時の年齢： 37

公式citation

"For his achievements in symplectic geometry, including new approaches to virtual fundamental cycles, Fukaya categories of Liouville manifolds and counting holomorphic curves, and for his contributions to other areas of geometry and topology, including group actions on 3-manifolds and knot theory."（訳：シンプレクティック幾何学における業績——virtual fundamental cyclesへの新しいアプローチ、Liouville多様体のFukaya圏、正則曲線の数え上げを含む——、および3次元多様体上の群作用や結び目理論を含む幾何学・位相幾何学の他分野への貢献に対して）
— (Simons Foundation)

この分野について：シンプレクティック幾何学

岩壁を登っている場面を想像してほしい。壁の上のあなたの位置と運動量（どれくらいの速さで、どの方向に動いているか）を組み合わせれば、その瞬間の状態がすべて記述できる。この（位置、運動量）の組み合わせすべてが作る空間を相空間と呼ぶ——そしてシンプレクティック幾何学とは、この相空間の幾何学のことだ（Quanta Magazine).

相空間では、位置と運動量が一体となって連動する。片方を変えれば、もう片方も応答せざるを得ない。この関係性——シンプレクティック構造——は、角度も距離も固定されているユークリッド幾何学よりは柔軟だが、自由に伸縮できる位相幾何学よりは制約が強い。ホールドが固定された硬いクライミングルート（ユークリッド幾何学）、ホールドは動いても全体構造は保たれるルート（シンプレクティック幾何学）、そして何でもありの完全に自由な這い上がり（位相幾何学）——この三者の違いだと考えればいい。

シンプレクティック幾何学は古典力学（Hamiltonの理論）に起源を持つが、現代数学のなかでも最も深く、最も活発な分野の一つへと成長し、弦理論、ミラー対称性、量子物理学ともつながっている。

受賞対象となった業績

Pardon のフィールズ賞は、シンプレクティック幾何学、結び目理論、幾何学的位相幾何学にわたる一連の突破口を評価したものだ。

1. Virtual fundamental cycles（博士論文の研究成果）

シンプレクティック幾何学の多くの問題は、最終的には数え上げ — つまり、シンプレクティック多様体上のある種の曲線（擬正則曲線と呼ばれる）を数えることに帰着する。これは、ある制約を満たす壁の登攀ルートの数を数えるようなものだ。ただし問題がある：曲線が多様体と「横断的に」（きれいに貫通して）交わらず、単に接するように「かすめる」だけの場合があり、そうなると数え方が狂ってしまう（Quanta Magazine).

数学者たちはvirtual fundamental cycles（バーチャル基本サイクル）と呼ばれる様々な回避策を開発してきた——こうした厄介な接触を処理するために、数え方を摂動したり再編成したりする技法だ。しかしどの手法にも限界があった。Pardonは、Yakov Eliashbergの指導のもとで書いた2015年のStanford博士論文で、「implicit atlas（暗黙のアトラス）」という概念を使った、完全に新しい代数的アプローチを開発した——これは局所的な有限次元への還元を与える層論的枠組みである。Leonid Polterovichはこう評した："It was clean. It was powerful"（訳：明快で、力強かった）（Quanta Magazine).

その影響は即座に現れた。Mohammed Abouzaidはこの論文について "made it possible for many people to stop worrying about things. It was immediately impactful"（訳：多くの人々が気にしなくてよくなった。即座に大きな影響を与えた）と述べている（Quanta Magazine）。Eliashbergは「シンプレクティック場理論のある部分の基礎は、彼の機構の上に築かれている」と指摘した。基礎的な厳密性をめぐって「じわじわ広がる危機」に陥っていたこの分野において、Pardonの仕事は論争を解決し、確固たる土台を提供した。

2. MNOP予想（2023年）

これはPardonの単独の業績としては最も称賛されている結果だ。Calabi-Yau 3-fold（カラビ・ヤウ3次元多様体）——複素次元3（実次元6）を持つ形で、弦理論のある種のモデルにおいて隠れたコンパクト化次元の幾何として現れる——の上で、曲線を数える方法には全く異なる二つのやり方がある：

• Gromov-Witten不変量（GromovとWittenによって開発）：曲線をその「ジーナス」（曲線が持つ「穴」の数）によって整理して数える
• Donaldson-Thomas不変量（DonaldsonとThomasによって開発）：曲線を別の性質によって整理して数える

これら二つの方法は、全く異なる数列を与える。しかし2003年、Maulik、Nekrasov、Okounkov、Pandharipandeの4人の数学者が、これら二つの数列は実は同一の関数の係数を、二つの異なる方法で展開したものにすぎないと予想した（Plus Magazine, Quanta Magazine).

格闘技の採点システムに例えるとわかりやすい。ストライクの命中数を基準にする方式と、コントロール時間を基準にする方式——見かけはまったく違う二つの採点法が、実は角度を変えて同じパフォーマンスを測っていたと判明するようなものだ。MNOP予想はこう主張していた——この二つの数え方は、姿を変えた同一のものなのだと。

20年間、誰も証明できなかった。ところが2023年夏、Pardonがオンラインに証明を投稿し、nef反標準束を持つすべての複素三次元多様体（すべてのCalabi-Yau三次元多様体を含む）について、主要挿入（primary insertion）付きでMNOP予想を確立した。この分野の専門家であるJim Bryanは、それが"came out of nowhere"（訳：どこからともなく現れた）ものであり、"would have dismissed it entirely if not for Pardon's reputation"（訳：Pardonの評判がなければ、まったく相手にしなかっただろう）と語った。証明はまったく別の数学分野の道具を使い、今では「Pardon代数」 (Quanta Magazineと呼ばれる新たな数学的構造を生み出した（）。Bryanはこれを"the biggest result in enumerative algebraic geometry for the last 20 years"（訳：過去20年間で数え上げ代数幾何学における最大の成果）と評し、"rewires the way he thinks about the entire subject"（訳：この分野全体についての自分の思考回路を組み替えてしまった）と述べた。

3. Liouville多様体のFukaya圏（GanatraおよびShendeとの共同研究）

Fukaya圏とは、多様体のシンプレクティック幾何学を符号化する代数的構造だ——幾何学的情報（ラグランジュ部分多様体とその交叉に関する情報）を代数（対象・射・合成に関する情報）へと翻訳する辞書のようなものである。PardonはSheel Ganatra、Vivek Shendeとともに、Liouvilleセクターのwrapped Fukaya圏を構成した。これは共変関手性と呼ばれる決定的な性質を備えている——つまり、空間間の写像のもとでこの構成がうまく振る舞うということであり、実際に計算を行ううえで不可欠な性質だ（Quanta Magazine).

4. 結び目理論と3次元多様体への群作用

シンプレクティック幾何学の研究に着手する以前から、PardonはPrinceton大学の学部生として既に注目を集めていた。彼は1983年にGromovが提起した結び目の歪み（distortion）に関する問題を解決した——これは結び目に沿った距離と、結び目上の2点間の直線距離との比を測るものだ。Pardonは、トーラス結び目が無制限に大きな歪みを持ちうること、つまりどれほど並べ替えようとしても、いくらでも複雑に絡み合った状態になりうることを証明した。この成果はAnnals of Mathematics誌に掲載された——学部生としては異例の快挙である（Quanta Magazine）。彼はまた、3次元多様体に対するHilbert-Smith予想、3次元多様体に忠実に作用する局所コンパクト群は必ずリー群であることを示した（arXiv:1112.2324).

なぜ革命的なのか

Pardonの仕事は、他の誰も見落とすような異分野間のつながりを見抜く点に特徴がある。彼は個々の問題を解いただけではない——枠組みそのものを築いたのだ。virtual fundamental cycles（虚基本サイクル）に関する研究は、シンプレクティック幾何学という分野全体に厳密な基盤を与えた。MNOP予想の証明も単に予想を解決しただけでなく、他の研究者がさらに前進するために既に使い始めている、まったく新しい数学的構造（Pardon代数）を生み出した。そしてFukaya圏に関する研究は、シンプレクティック幾何学を実際に使える道具にする計算基盤を提供した。

フィールズ賞の授賞理由はこう述べている。"Pardon is a mathematician of extraordinary depth and originality, who has repeatedly had a significant impact on the fields of topology and symplectic geometry. He has both contributed to fundamental structure and solved problems that had stymied the community for decades"（訳：Pardonは並外れた深さと独創性を持つ数学者であり、位相幾何学とシンプレクティック幾何学の分野に何度も大きな影響を与えてきた。彼は基礎構造への貢献と、数十年にわたり研究者たちを悩ませてきた問題の解決の両方を成し遂げている）（Plus Magazine).

アニメーション（著者による補助教材）：キーアイデアと仕組み——青い円（GW・ジーナスによる分類）と緑の四角（DT・別の性質による分類）が別々にカウントされ、二本の光線がひとつの脈動する「分割関数Z」カードへと収束する。二つの数列、一つの関数、二つの展開。

最も影響力のある関連研究10選

John Pardonによる中核論文

先行研究の基礎文献

現在の影響と後続研究

セミナー討議のための問い

Jacob Tsimerman ——数論と数論的幾何学

所属：トロント大学（プリンストン大学Ph.D. 2011年、指導教員 Peter Sarnak）
受賞時の年齢： 38

公式citation

"For his role in the vast extension of the scope of o-minimal techniques within arithmetic and complex algebraic geometry, including the proof of Griffiths' conjecture on the algebraicity of images of the period maps."（訳：数論および複素代数幾何学における o-minimal 的手法の適用範囲を大幅に拡張した業績、とりわけ period map の像の代数性に関するGriffiths予想の証明に対して。）
— (Simons Foundation)

分野解説：数論と数論的幾何学

数論とは、整数とその性質——素数、割り切れるかどうか、方程式の解——を研究する学問だ。数論的幾何学はそこに幾何学の視点を持ち込む。方程式を直接扱うのではなく、その方程式が定義する図形（多様体）そのものを研究するのだ。これはロッククライマーが、ルート上の個々のホールドだけでなく、壁全体の幾何学——オーバーハング、クラック、ダイヒドラル——を捉えることに似ている。幾何学的な全体像こそが、進むべき道筋を明らかにするからだ。

数論的幾何学における中心的なテーマの一つは、special points — 幾何的な図形上にある、特に豊かな数論的情報を担う点のことだ。図形の「ツボ」のようなもの、つまり深い構造が凝縮された特定の小さな位置だと考えればいい。問題はこうだ：そうした特殊点が数多く見つかったとき、それはその点が乗っている図形について何を語っているのか？

シミュラ多様体 は、アーベル多様体（楕円曲線の高次元版）の族をパラメトライズする幾何的空間の一種だ。深い数論的情報を符号化した、きわめて豊かな対象である。ホッジ理論は20世紀半ばに発展した理論で、幾何的な問題を解析的な問題へと翻訳する——たとえば「ホールドはどこにあるか」というクライミングの問題を「どんな力が働いているか」という問題に置き換えるようなものだ。この翻訳こそが、Tsimermanの研究の舞台となる。

受賞対象の業績

Tsimermanのフィールズ賞は、o極小性——数理論理学の概念——を革新的に用いて、数論と代数幾何の深い問題を解いたことに対して贈られた。

1. アンドレ・オールト予想

1990年代にYves AndréとFrans Oortによって定式化されたこの予想は、特殊点に関するものだ。シミュラ多様体上の点で、その予測はこうだ：シミュラ多様体の既約な部分多様体が特殊点（CM点と呼ばれる）の稠密な集合を含むなら、その部分多様体自体も特殊でなければならない（ScientiaMag）。言い換えれば、幾何の一部にこうした「ツボ」が十分に密集して見つかれば、その部分自体が特殊で高度に構造化された対象だということになる。

これは格闘技における一つの原則に似ている。もしある選手が特定の的を繰り返し晒しているなら、それはその構え方や動き方が、別の何かを守るために組み立てられているからだ——弱点そのものが、構造を露呈しているのである。

この予想への攻略に用いられたのがPila-Zannier戦略であり、2008年に導入された。上から（o極小幾何を使って）と下から（ガロア軌道の評価を使って）特殊点を数え、両者を比較するのだ。Tsimermanは2018年にアーベル多様体のモジュライ空間（A_g）についてこの予想を証明し、その後——Jonathan PilaとArul Shankarとともに——すべてのシミュラ多様体に対する完全なアンドレ・オールト予想を2021年に証明した（arXiv:2109.08788, ScientiaMag).

2. 周期写像に関するGriffiths予想

1970年、Phillip Griffithsは、周期写像（代数多様体に関する幾何学的データを、Hodge理論的な解析データへと翻訳する写像）の像が、常に代数多様体（多項式方程式で定義される図形）になるはずだと予想した。これは、幾何学を解析学へと翻訳したとしても、その背後にある代数的構造が保たれ続けることを意味する（Plus Magazine).

Tsimermanは、Benjamin BakkerとYohan Brunebarbeとともに、2018年から2023年にかけてこれを証明した。彼らの鍵となる革新が「o-極小GAGA」――複素代数空間上の連接層に関するGAGA型定理（Serreの Geometrie Algébrique et Géométrie Analytique にちなむ名称）であり、o-極小構造において定義可能なものについて成り立つ。これにより、o-極小幾何学が代数幾何学とHodge理論に根本的に結びつけられた（arXiv:1811.12230).

3. Shimura多様体に対するAx-Schanuel

Ngaiming MokおよびJonathan Pilaとともに、TsimermanはAx-Schanuel定理を、あらゆる（純）Shimura多様体に対して証明した――これは、一意化写像のもとでの部分多様体の逆像の代数的部分を制御する、関数超越性の主張である。これはPila-Zannier戦略に不可欠な要素であり、攻撃を組み立てる前に相手の防御のどの部分を「突破できるか」を正確に把握しておくことに似ている（arXiv:1711.02189).

o-極小性とは何か

o-極小構造とは、定義可能な集合からなる世界であって、その1次元の定義可能な部分集合が有限個の点と区間の和になっているものを指す――無限に振動する境界も、フラクタル的な病理も存在しない。より高次元の定義可能な集合も、この1次元の条件から強い「従順さ（tameness）」を受け継ぐ。Tsimermanはこう説明する："It makes precise the notion of what a tame geometry is"（訳：それは「従順な幾何学」とは何かという概念を、精密に定式化するものだ）（Plus Magazine).

Tsimermanの貢献の真骨頂は、幾何学の基礎を研究するために生まれたこの数理論理学の道具が、数論における強力な武器として振るえることを見抜いた点にある。それはたとえるなら、ロッククライミングの技術――表面の質感や構造を読み取る技術――を応用すれば、プールの壁まわりの水流パターンをより深く理解できると気づいた水泳選手のようなものだ。この分野横断的な転用こそが、この仕事を革新的たらしめている。

なぜ革新的なのか

Tsimermanは個々の問題を解いただけではない。彼は、周期写像の定義可能性、Ax-Schanuel定理群、o-極小GAGAといった、算術幾何学の標準的な道具立てとなるインフラそのものを築き上げた。彼の成果は、Hodge予想――7つのミレニアム懸賞問題（各100万ドル）の一つ――と深く関係している（Simons Foundation）。このo-minimalな枠組みは現在、混合周期写像、Shafarevich予想、双有理幾何学、Calabi-Yau多様体の研究にまで応用が広がっている。

トロント大学は、彼の研究が「まったく新しい研究方向を開いた」ものであり、「関数超越理論、Hodge構造に対するAx-Schanuel定理、いわゆる『unlikely intersections』の研究」に影響を与えたと評している（U of T News).

アニメーション（著者による補助図）：キーアイデアとメカニズム——左側で無限に振動する「野生的」な曲線が、o-minimalなレンズを通過することで、有限個の点と区間からなる従順な幾何へと変わる。双方向の青い矢印が上（o-minimalな点の数え上げ）と下（Galois軌道の評価）から絞り込んでいく様子は、Pila-Zannier戦略の核心そのものだ。

影響力の大きい関連研究 10選

Jacob Tsimermanによる中心的論文

先行研究の礎

現在の影響と後続研究

セミナー討議のための問い

Hong Wang — 調和解析と幾何測度論

所属：NYUクーラント研究所およびIHES（MIT博士2019年、指導教員Larry Guth）
受賞時年齢：35歳（Fields賞史上3人目の女性受賞者。2014年のMaryam Mirzakhani、2022年のMaryna Viazovskaに続く）

受賞理由（公式引用）

"For her work in harmonic analysis and geometric measure theory, including applications of multiscale and decoupling techniques to the local smoothing conjecture for the planar wave equation, and major advances in Fourier restriction, Falconer distance sets, Furstenberg sets in the plane, and the Kakeya problem in three dimensions."（訳：調和解析と幾何測度論における業績、特に平面波動方程式の局所平滑化予想へのマルチスケール解析およびデカップリング手法の応用、そしてFourier制限問題、Falconer距離集合問題、平面上のFurstenberg集合問題、3次元Kakeya問題における大きな進展に対して）
— (Simons Foundation)

この分野とは：調和解析と幾何測度論

調和解析とは、物事を波に分解する技法だ。Joseph Fourierは19世紀に、どれほど複雑な音であっても単純な正弦波の和に分解できることを発見した。MP3が音楽を圧縮できるのはこの原理による——生の信号ではなく波の成分を保存しているのだ。調和解析はこの考え方を、はるかに広範な数学的設定へと一般化する（Plus Magazine).

格闘家が複雑な連続技を個々の技――ジャブ、クロス、フック、キック――に分解する様子を想像してほしい。個々の動きは単純だが、複雑さはその組み合わせ方から生まれる。調和解析は分解（波への分解）と合成（波を組み合わせて元に戻すこと）の両方を研究し、波の成分から元の対象について何が言えるかを問う。

幾何測度論は、滑らかでない図形――フラクタルやシャボン玉の集まり、あるいは調和解析に現れる激しく不規則な集合――にまで微積分の道具を拡張する。その核心となる概念がハウスドルフ次元であり、これは対象の「大きさ」がどのようにスケールするかを測る。直線のハウスドルフ次元は1、正方形の次元は2だ。しかしフラクタルは整数でない次元を持つことがある——例えばコッホ雪片の次元は約1.26である（Plus Magazine).

受賞対象となった業績

Wangのフィールズ賞は、一つの記念碑的な結果を頂点とする、いくつものブレークスルーの集合体を評価したものだ。

1. 3次元におけるKakeya予想（Joshua Zahlとの共同研究）

1917年、日本の数学者・掛谷宗一はこう問いかけた。針をあらゆる方向に向けるために回転させるには、最小でどれだけの面積が必要か。円で十分だと思うかもしれないが、掛谷はもっと小さな図形を見つけた。2年後、Abram Besicovitchは衝撃的な事実を示した。針をフラクタル的に枝分かれするパターンでスライドさせながらわずかに回転させれば、面積を任意にいくらでも小さく——ゼロにさえ——できるのだ（Plus Magazine).

ここでさらに深い問いが浮かび上がる。面積がゼロにできるなら、次元はどうなるのか。掛谷予想は、掛谷集合の体積がゼロであっても、そのハウスドルフ次元は依然として可能な限り最大でなければならない——つまり、その集合が属する空間の次元と等しくなければならない——と予測する。2次元の場合はRoy Daviesが1971年にわずか数ページで証明した。3次元以上では、50年以上未解決のままだった。

2025年2月、WangとJoshua Zahl（南開大学）は、R³内のすべての掛谷集合のハウスドルフ次元がちょうど3であることを示す127ページの証明を発表した（arXiv:2502.17655, IHES）。この証明は、3次元空間における細い管の集まりが（掛谷集合で起こるように）大きく重なり合う唯一の方法は凸集合へとクラスター化することだと示し、そのクラスターの次元を評価することで成立している。

この証明はいくつかの先行するブレークスルーの上に築かれている。まずWangとZahlは、「スティッキー掛谷（sticky Kakeya）」の場合——マルチスケールの自己相似性を持つ集合——を2022年に証明した（arXiv:2210.09581）。続いて2025年、一般の場合がこのスティッキーな場合に帰着することを示した。証明全体は、マルチスケールの幾何学的解析、インシデンス組合せ論、そして3次元空間で管がどのように重なり合うかについての深い理解を組み合わせたものだ。

2. 平面上のファーステンバーグ集合予想（Kevin Renとの共同研究）

A ファーステンバーグ集合とは、多くの方向において、その方向の直線のフラクタル的な断片を含む集合のことだ——掛谷集合的な条件ではあるが、単位針を回転させるのではなく、直線との次元的な交わりに関するものだ。WangとKevin Renは2023年、R²におけるファーステンバーグ集合予想を完全に解決し、鋭い次元評価を証明した（arXiv:2308.08819）。ここで開発されたマルチスケールの「スティッキー還元」というアイデアは、3次元の掛谷戦略に直接的な影響を与えた。

3. 平面波動方程式に対する局所平滑化予想（Larry Guth、Ruixiang Zhangとの共同研究）

局所平滑化予想（local smoothing conjecture）とは、波が広がっていくとき、局所的に「滑らか」になるのか——つまり、ある領域において最初よりも正則性が上がるのか、を問うものだ。Wang、Guth、Zhangはこれを2+1次元の波動方程式について、R³における円錐に対する鋭いL⁴平方関数評価を用いて証明した（arXiv:1909.10693）。これは、任意の次元における局所平滑化予想の初の完全な解決だった。

4. ファルコナー距離集合問題（Guth、Iosevich、Ouとの共同研究）

ファルコナー予想（Falconer conjecture）とは、平面上のハウスドルフ次元が1より大きい（R^dでは一般にd/2が閾値となる）点集合があるとき、その点対間の距離の集合は正の測度を持つはずか、という問いだ。Wangと共同研究者たちは、次元が5/4を超えれば固定点距離集合が正の測度を持つことを証明した——これはファルコナー予想に対する大きな前進である（arXiv:1808.09346).

5. フーリエ制限（Shukun Wuとの共同研究）

フーリエ制限予想（Fourier restriction conjecture）とは、フーリエ変換を（球面のような）曲面に制限しても、それでも有界な作用素が得られるか、という問いだ。これは波が曲がった境界とどのように相互作用するかを理解する上で基本となる。WangとWuは、デカップリング理論と両端フルステンベルグ不等式を組み合わせた新しい枠組みを導入し、新たな制限評価を導いた（arXiv:2411.08871).

なぜ画期的なのか

Wangは自分の分野を「予想の塔」があるものだと表現している（Plus Magazine）。カケヤ予想はその一番下にあり、それがフーリエ制限予想を導き、フーリエ制限予想が局所平滑化予想を導き、さらにPDEに関するさらなる結果を導く。カケヤ予想を反証すれば、塔全体が崩れ落ちる。3次元カケヤ予想を証明することで、Wangは単に一つの問題を解いただけではない——調和解析・PDE・幾何的測度論にわたる結果の塔全体に「基礎的な強度」を与えたのだ。

さらに、Wangが開発した手法——多重スケール解析、粘着的還元（sticky reduction）、接触組合せ論と幾何的測度論の相互作用——は、すでに高次元や関連問題へと応用されつつある。Wang自身の言葉を借りれば："In Fourier analysis we have a tower of conjectures. The Kakeya conjecture lies at the bottom of three other conjectures, one implying the other. If you disprove the Kakeya conjecture, then you disprove the whole tower"（訳：フーリエ解析には予想の塔がある。カケヤ予想はその塔の一番下にあり、他の三つの予想はそこから積み上がっていて、一つが次を導く構造になっている。カケヤ予想を反証すれば、塔全体を反証することになる）（Plus Magazine).

この問題は4次元以上では依然未解決のままだ——フロンティアが手招きしている。

アニメーション（著者による補助）：鍵となるアイデアと機構——針が円盤内のあらゆる方向を回転して掃過する（面積はゼロになりうる）。次元メーターはフルの3.00まで押し上げられる。予想の塔はその土台（Kakeya）から順に灯っていく——土台が崩れれば塔全体が崩れるが、土台が証明された今、塔は立っている。

最も影響力のある関連研究10選

Hong Wangによる中核論文

先行研究の基盤となる文献

セミナー討議のための問い

2026年フィールズ賞が数学について語ること

4人の受賞者を通して見渡すと、いくつかのパターンが浮かび上がってくる。

1. 分野間の架け橋。 受賞者全員が、無関係に見える領域の間に橋を架けた。Dengは確率論とPDEを結びつけ、Pardonは代数とシンプレクティック幾何学を結びつけ、Tsimermanは数理論理学と数論を結びつけ、Wangは幾何学的測度論と調和解析を結びつけた。最も変革的な数学は、分野の境界で起きる——柔道、ボクシング、レスリングから技を借りて何か新しいものを作り出す格闘家のように。

2. 前進させただけでなく、深い問題を解決した。 受賞者はそれぞれ、数十年にわたって未解決だった問題を解いた——Hilbertの第6問題（1900年）、MNOP予想（2003年）、André-Oort予想（1990年代）、Kakeya予想（1917年）。これらは漸進的な改善ではなく、その分野を定義してきた物語そのものの完結だった。

3. 新たな道具の創出。 個別の問題を解いたことに留まらず、受賞者はそれぞれ新しい数学的機構を作り出した——ランダムテンソル（Deng）、Pardon代数と暗黙のアトラス（Pardon）、o-minimal GAGA（Tsimerman）、スティッキー還元と多スケール・チューブ解析（Wang）——これらはすでに他の数学者たちによってさらなる前進のために使われている。

4. 物理学と数学の絡み合い。 Dengの仕事は物理法則の方程式を第一原理の上に据え直した。Pardonが扱うCalabi-Yau多様体は、隠れた次元の弦理論モデルに登場する。Wangが解いたKakeya予想は、波の伝播に関する私たちの理解の根底にある。物理世界を記述するにあたって数学が持つ「不合理な有効性」は、今もなお神秘的であり、それゆえ豊かでありつづけている。

5. 数学のグローバルな性格。 2026年の受賞者たちは、中国（Deng、Wang）、アメリカ（Pardon）、カナダ（Tsimerman、ロシア生まれ）の出身だ。うち2人は中国国籍——中国籍を持つ数学者がフィールズ賞を受賞するのは初めてのことだ（1982年に受賞したShing-Tung Yauは中国系だが、受賞当時はアメリカ国籍だった）。Wangは90年に及ぶフィールズ賞の歴史において、女性としてわずか3人目の受賞者となる（CNN, Simons Foundation）。数学は、ますます真にグローバルな営みになりつつある。

今後の展望

2026年のフィールズ賞受賞者たちは、長年未解決だった問題を解いただけでなく、新たなフロンティアを切り開いた。Dengの手法はより複雑な流体やプラズマへと拡張されるかもしれない。Pardonの枠組みは数え上げ幾何学のさらなる予想を解く鍵になり得る。Tsimermanのo-minimalツールキットは双有理幾何学へと押し進みつつある。そしてWangの3次元Kakeya予想の証明は、切実な問いを投げかけた——この手法は4次元、さらにその先へと通用するのか？

プールで波を見て、壁でルートを見て、組手で戦略を見る——そんな若い数学者にとって、教訓は明快だ。最も深い数学は、異なる世界が出会う場所に宿る。2026年のフィールズ賞受賞者たちは、ただ高く登っただけではない。彼らは新しい山そのものを見つけたのだ。

アニメーション（著者による補助）：四本の橋が弧を描いてかかる——確率論↔偏微分方程式（Deng）、代数学↔シンプレクティック幾何学（Pardon）、論理学↔数論（Tsimerman）、幾何学的測度論↔調和解析（Wang）。

早見表——4人の受賞者

本ブリーフィングは、IMUの公式citation、各大学のプレスリリース、Quanta Magazineのプロファイル記事、Plus Magazineの解説記事、そしてarXivのプレプリントをもとに作成した。arXivの識別子や学術誌の参照情報については、複数の出典を照合して確認済みだ。

出典：Simons Foundation · Quanta Magazine — Deng · Quanta Magazine — Pardon · Plus Magazine — Deng · Plus Magazine — Pardon · Plus Magazine — Tsimerman · Plus Magazine — Wang · IHES — Wang · UChicago News — Deng · U of T News — Tsimerman · ScientiaMag — Tsimerman · Princeton University · Stanford Mathematics · Scientific American · CNN · NYT — Tsimerman · NYT — Wang · NYT — Deng · arXiv