2026년 필즈상 수상자들:
기관 연구 브리핑

수학에서 무엇이 바뀌었는가?

2026년 7월 23일, 필라델피아에서 열린 국제수학자대회(ICM)에서 국제수학연맹은 흔히 '수학의 노벨상'이라 불리는 필즈상을 40세 미만 수학자 네 명에게 수여했다 (Simons Foundation). 수상자들은 각자 세계 최고의 수학자들도 수십 년, 어떤 경우는 한 세기 넘게 풀지 못한 문제를 해결했다.

수학을 거대한 산맥이라고 생각해보자. 누구나 볼 수 있는 봉우리들이 있다 — 지형 위로 우뚝 솟은 유명한 미해결 문제들이다. 아래에서 보면 전혀 무관해 보이는 봉우리들을 잇는 숨은 능선들도 있다. 그리고 등반가 대부분이 존재조차 모르는 기법의 계곡 전체가 있는데, 알고 보면 그곳에 정상으로 향하는 핵심 경로가 숨어 있다.

2026년 필즈상 수상자 네 명은 단지 봉우리에 오른 것이 아니다. 그들은 지도 자체를 바꿔놓은 새로운 등반 경로를 만들어냈다:

• Yu Deng은 수십억 입자의 혼돈스러운 춤이 실제로 유체역학의 매끄럽고 예측 가능한 방정식을 낳는다는 것을 증명했다 — David Hilbert가 1900년에 제시한 꿈을 완성한 것이다 (UChicago News).
• John Pardon은 6차원 도형 — 끈이론에서 우리 우주를 모델링할 수도 있는 도형 — 위의 곡선을 세는 완전히 다른 두 방법이 실은 같은 것을 세고 있음을 증명하여, 20년 묵은 추측을 해결했다 (Quanta Magazine).
• Jacob Tsimerman은 수리논리학에서 도구를 하나 가져왔다 — '온화한 기하학(tame geometry)'이 무엇인지를 정밀하게 규정하는 'o-극소성(o-minimality)'이라는 개념이다 — 그리고 이를 이용해 1970년대부터 열려 있던 수론의 추측들을 증명했다 (Plus Magazine).
• Hong Wang은 3차원 공간에서 모든 방향으로 회전하는 바늘이 반드시 완전한 차원의 집합을 그려낸다는 것을 증명했다 — 1917년에 제기된 문제를 해결하고 조화해석학의 추측들이 층층이 쌓인 탑으로 향하는 문을 열어젖힌 것이다 (Plus Magazine, IHES).

이 브리핑은 각 메달리스트를 심층적으로 다룬다. 이들이 몸담은 분야, 풀어낸 문제, 그 문제가 왜 중요한지, 그리고 연구 계보를 규정하는 가장 영향력 있는 10편의 논문—본인과 선배 연구자들의 것을 모두 포함해서—을 살펴본다.

애니메이션 (저자 제작 보조 자료): 산맥에 네 개의 새로운 등반로가 스스로 그려지고, 정복된 봉우리마다 깃발이 꽂힌다 — 이들은 지도 자체를 바꿔놓았다.

Yu Deng — 편미분방정식

소속: University of Chicago (이전 USC Dornsife 소속; Princeton 박사 2015)
수상 당시 나이: 37

공식 선정 이유

"For his work in partial differential equations, including the rigorous derivation of the Boltzmann equation from hard-sphere dynamics for rarefied gases, the derivation of wave kinetic equations from nonlinear dispersive systems, and probabilistic approaches to nonlinear Schrödinger dynamics." (번역: 편미분방정식 분야에서의 업적을 기려 수여한다. 여기에는 희박 기체의 경구(硬球) 역학으로부터 볼츠만 방정식을 엄밀하게 유도한 것, 비선형 분산계로부터 파동 운동방정식을 유도한 것, 그리고 비선형 슈뢰딩거 역학에 대한 확률론적 접근이 포함된다.)
— (Simons Foundation)

이 분야: 편미분방정식(PDE)

바다에서 수영을 하고 있다고 상상해보자. 주위의 물은 가만히 있지 않는다. 움직이고 소용돌이치고 부딪히면서, 가까이서 보면 혼란스럽지만 멀리서 보면 어딘가 정돈된 패턴을 그린다. 유체와 기체, 파동이 시간에 따라 어떻게 변해가는지를 기술하는 방정식을 편미분방정식(PDE)이라 부른다. PDE는 무언가가 공간과 시간에 걸쳐 동시에 어떻게 변하는지를 기술한다 — 단순히 "공이 얼마나 빨리 떨어지는가"(이것은 상미분방정식의 영역이다)가 아니라 "시간이 지나면서 금속판에 열이 어떻게 퍼져나가는가"를 다루는 것이다 (UChicago News).

PDE는 물리학이 쓰는 언어다. 열방정식, 파동방정식, 유체역학의 나비에-스토크스 방정식, 양자역학의 슈뢰딩거 방정식 — 모두 PDE다. 하지만 PDE를 엄밀하게 풀어내는 일은 유명하게도 어렵다. 방정식을 적어내는 것은 쉽지만, 해가 실제로 존재한다는 것, 그 해가 물리학이 예측하는 대로 행동한다는 것, 그리고 그에 대해 정확히 무언가를 말할 수 있다는 것을 증명하는 대목에서 수학은 본격적으로 어려워진다.

Deng의 연구는 PDE와 확률론이 교차하는 지점에 자리한다. 그는 유연한 확률론적 관점을 파동방정식이라는 경직되고 구조화된 세계 속으로 끌어들인다 — 마치 격투가의 유연한 적응력을 딱딱한 가타(kata, 형) 속에 불어넣는 것과 비슷하다. Deng 본인의 말을 빌리면: "There is a lot of randomness in this world, and we need a mathematical way to capture it" (번역: 이 세상에는 무작위성이 넘쳐나고, 우리에겐 그것을 포착할 수학적 방법이 필요하다) (UChicago News).

수상의 배경이 된 연구

Deng의 필즈상은 서로 얽혀 있는 세 가지 돌파구를 인정한 것이다:

1. 단단한 구체 동역학으로부터 볼츠만 방정식 유도하기 (힐베르트의 여섯 번째 문제)

1900년, David Hilbert는 다음 세기 수학의 방향을 결정지을 23개의 문제를 제시했다. 그중 여섯 번째 문제는 이렇게 묻는다: 개별 입자의 운동에서 출발해, 물리학의 방정식들 — 특히 유체역학 — 을 제1원리로부터 유도할 수 있을까? (Plus Magazine)

그림을 그려보자. 수십억 개의 작은 단단한 구체들이 당구공처럼 서로 부딪히며 튕겨 나가는 기체를 상상해보라. 미시적 수준에서 각 입자는 뉴턴의 법칙을 따른다. 개별 입자 하나하나는 결정론적이고 예측 가능하다. 하지만 거시적 수준에서는 기체가 볼츠만 방정식(1872년)을 따라 행동하는데, 이 방정식은 온도, 압력, 속도를 통계적 평균의 형태로 기술한다. 그리고 가장 큰 스케일에서는 기체가 나비에-스토크스 방정식 (UChicago News).

연쇄 구조는 다음과 같다: 뉴턴 → 볼츠만 → 나비에-스토크스. Hilbert는 수학자들이 이 각 연결 고리를 엄밀하게 증명해내길 바랐다.

두 번째 연결(볼츠만 → 나비에-스토크스)은 이미 이해되어 있었다. 어려운 쪽은 첫 번째 연결(뉴턴 → 볼츠만)이었다. 1975년 Oscar Lanford가 이를 증명해내지만, 그 유효 시간은 극히 짧아서 "백만 개 입자 중 겨우 하나가 한 번 충돌했을 것으로 예상되는" 수준이었다 (Plus Magazine). 시간이 더 길어지면 입자들은 반복적으로 충돌하며 복잡하게 얽힌 공유 이력을 쌓아간다. 마치 너무 많은 라운드를 겨뤄서 서로의 움직임을 예측하게 된 스파링 상대들과 같다. 볼츠만이 의존했던 독립성 가정은 여기서 무너진다.

Deng은 Zaher Hani(University of Michigan), Xiao Ma(Princeton)와 함께 이 문제를 깨뜨렸다. 그들의 핵심 발상 — Deng이 Providence, Rhode Island의 한국식 치킨 가게에서 떠올렸다는 그 아이디어 (UChicago News) — 는 긴 시간 구간을 짧은 구간들로 쪼갠 뒤, 정교한 "분자 절단(molecule cutting)" 알고리즘을 이용해 충돌 패턴의 조합적 폭발을 제어하는 것이었다. 그들은 충돌 이력을 나무 모양 다이어그램(물리학의 파인만 다이어그램을 떠올리게 하는)으로 표현한 다음, 그 나무들이 긴 시간에 걸쳐 무한히 복잡해지더라도 그 기여들이 통제된 방식으로 서로 상쇄되고 결합됨을 보였다 (Quanta Magazine).

그 결과: 2024~2025년 사이 Deng, Hani, Ma는 200쪽에 달하는 증명을 발표해, (볼츠만-그라드 가정 아래 해당 볼츠만 해가 존재하는 한) 임의로 긴 시간에 대해 단단한 구체 동역학으로부터 볼츠만 방정식을 유도해냈고, 이어서 이 모형 설정 안에서 뉴턴에서 나비에-스토크스까지 이어지는 엄밀한 파이프라인을 완성했다. 힐베르트의 여섯 번째 문제는 — 적어도 볼츠만-그라드 극한에서의 희박한 단단한 구체 기체라는 경우에 대해서는 — 해결되었다 (Plus Magazine, UChicago News).

2. 비선형 분산계로부터 파동 운동학 방정식 유도하기

가스 문제에 손대기 전, Deng과 Hani는 파동에 대한 유사한 문제를 연구했다. 물리학자들은 오래전부터 비선형 슈뢰딩거 방정식(양자 시스템에서 파동이 상호작용하는 방식을 기술하는 방정식)에서 출발해 수많은 파동의 평균적 거동을 멀리서 조망하면 파동 운동론 방정식(wave kinetic equation)이 도출되어야 한다고 믿어왔다 — 이는 바다 파도를 따라 에너지가 연쇄적으로 흘러가는 방식과 비슷한, 파동 난류에 대한 상위 수준의 기술이다 (Quanta Magazine).

Deng과 Hani는 이를 엄밀하게 증명했다. 이들은 파동의 해를 나무 형태 다이어그램들의 합으로 표현한 뒤, 거의 외과수술에 가까운 정밀함으로 각 나무의 기여도를 추정했다. Courant Institute의 Jalal Shatah은 이렇게 표현했다: "These estimates were beyond anyone's ability" (번역: 이 정도의 추정은 누구의 능력으로도 불가능한 수준이었다) (Quanta Magazine). 2023년 Inventiones mathematicae에 발표된 이 결과는 Lanford 정리의 파동 버전에 해당했다 — 그리고 이는 훗날 Deng이 볼츠만 방정식 유도에 응용하게 되는 다이어그램 방법론을 확립한 것이었다.

3. 비선형 슈뢰딩거 동역학에 대한 확률론적 접근

Deng은 또한 PDE의 무작위 초기값 문제(random data problem)에도 근본적으로 기여했다. PDE에 무작위한 초기 데이터 — 격렬하게 진동하거나 불연속점을 가진 파동 — 를 대입해도 방정식의 해가 존재한다는 것을 증명할 수 있을까? Deng은 Andrea Nahmod(UMass Amherst), Haitian Yue와 함께, 깁스 측도(Gibbs measure)(열평형을 모델링하는 확률 법칙)가 2차원 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 불변임을 증명했다. 이들의 핵심 혁신은 무작위 텐서(random tensors) 이론이었다 — 기존 방법으로는 다루기에 너무 복잡했던, 해의 격렬하게 진동하는 부분들을 분석하기 위한 프레임워크다 (Quanta Magazine).

이렇게 생각해보자. 무술에서 예측 불가능하게 움직이는 상대를 마주할 때, 상대의 개별 동작 하나하나를 예측하려 들 수도 있고(전통적인 결정론적 접근), 통계적 패턴 — 어떤 동작이 나올 가능성이 높은지, 어떤 조합이 드문지 — 을 익혀서 그 확률 위에 전략을 세울 수도 있다. Deng은 이러한 확률론적 사고를 파동 방정식이라는 결정론적 세계에 들여왔다.

왜 혁신적인가

Deng의 연구는 물리학의 세 가지 스케일 — 미시적(입자 동역학), 중간적(운동론), 거시적(유체역학) — 을 연결한다. 그것도 수학자들이 한 세기 넘게 추구해온 수준의 수학적 엄밀함으로 해낸다. IMU의 시상 근거는 이를 "수학자와 물리학자들이 물리학의 기본 법칙을 제1원리로부터 도출하고자 벌인 수 세기에 걸친 탐구의 커다란 도약" (번역: a leap forward in a centuries-long quest by mathematicians and physicists to derive the basic laws of physics from first principles)이라고 묘사한다 (Plus Magazine).

Deng이 개발한 방법론 — 나무 다이어그램 분해, "분자 절단" 알고리즘, 무작위 텐서 이론 — 은 단발성 해법에 그치지 않는다. 이는 PDE 이론, 통계물리학, 확률해석학 전반에 이미 적용되고 있는 새로운 도구 상자다. 수학계에서 가장 권위 있는 해설 학술 모임인 Séminaire Bourbaki가 이 결과가 나온 지 2년도 안 되어 이를 다루는 세미나를 마련했다는 사실은 그 영향력을 강력하게 보여주는 지표다 (arXiv:2602.04407).

애니메이션(저자 보조 자료): 핵심 아이디어와 메커니즘 — 미세하게 진동하는 입자들(미시 · 뉴턴)이 "분자 절단 + 상쇄하는 나무 다이어그램"에 의해 통계 히스토그램(메조 · 볼츠만)으로 용접되고, 다시 매끄러운 파동(매크로 · 유체)으로 이어진다. 세 스케일이 순서대로 밝아지며, 흐르는 화살표가 엄밀하게 증명된 유도 방향을 표시한다.

가장 영향력 있는 관련 연구 10선

Yu Deng의 핵심 논문

선행 연구들

현재의 영향과 후속 연구

세미나 토론 질문

John Pardon — 심플렉틱 기하학

소속: Stony Brook University, Simons Center for Geometry and Physics (Stanford 박사 2015, Princeton 학사 2011)
수상 당시 나이: 37

공식 수상 이유

"For his achievements in symplectic geometry, including new approaches to virtual fundamental cycles, Fukaya categories of Liouville manifolds and counting holomorphic curves, and for his contributions to other areas of geometry and topology, including group actions on 3-manifolds and knot theory." (번역: 가상 기본 사이클에 대한 새로운 접근법, Liouville 다양체의 Fukaya 범주 및 정칙곡선 계수를 포함한 심플렉틱 기하학에서의 업적, 그리고 3차원 다양체 위의 군 작용과 매듭 이론을 포함한 기하학·위상수학의 다른 영역에 대한 기여를 인정하여.)
— (Simons Foundation)

분야: 심플렉틱 기하학

암벽을 오른다고 상상해보자. 벽 위에서의 당신 위치와 운동량(얼마나 빠르게, 어느 방향으로 움직이고 있는지)을 합치면 어느 순간이든 당신의 완전한 상태를 나타낼 수 있다. 가능한 모든 (위치, 운동량) 쌍의 공간을 위상 공간(phase space)이라 부르며 — 심플렉틱 기하학은 바로 이 위상 공간의 기하학이다 (Quanta Magazine).

위상 공간에서 위치와 운동량은 서로 맞물려 춤을 춘다. 하나가 바뀌면 다른 하나도 반드시 반응해야 한다. 이 관계 — 심플렉틱 구조(symplectic structure) — 는 각도와 거리가 고정된 경직된 유클리드 기하학보다는 유연하지만, 모양을 자유롭게 늘이고 줄일 수 있는 위상수학보다는 제약이 많다. 고정된 홀드가 있는 경직된 클라이밍 루트(유클리드 기하학), 홀드는 바뀌어도 전체 구조는 유지되는 루트(심플렉틱 기하학), 그리고 무엇이든 허용되는 완전히 자유로운 스크램블(위상수학) 사이의 차이라고 생각하면 된다.

심플렉틱 기하학은 고전역학(Hamilton의 정식화)에서 출발했지만, 오늘날에는 끈 이론, 거울 대칭, 양자물리학과 연결되며 현대 수학에서 가장 깊고 활발한 분야 중 하나로 자리 잡았다.

수상의 근거가 된 업적

Pardon의 필즈상은 심플렉틱 기하학, 매듭 이론, 기하학적 위상수학 전반에 걸친 일련의 돌파구를 인정한 것이다:

1. 가상 기본 사이클 (박사 논문 연구)

심플렉틱 기하학의 많은 문제는 결국 계산(counting) — 정확히는, 심플렉틱 다양체 위의 특정한 곡선(의사 정칙 곡선pseudo-holomorphic curve이라 부른다)을 세는 문제다. 암벽에서 특정 조건을 만족하는 서로 다른 루트의 개수를 세는 것과 비슷하다. 그런데 문제가 하나 있다: 곡선이 다양체와 "횡단적으로"(transversely, 깔끔하게 가로질러) 교차하지 않고, 그저 접선 방향으로 "살짝 스치기만" 할 때가 있다는 것이다. 이런 일이 벌어지면 곡선의 개수를 세는 계산 자체가 틀어져 버린다 (Quanta Magazine).

수학자들은 이런 상황을 우회하기 위해 다양한 방법을 개발해 왔는데, 이를 가상 기본 사이클(virtual fundamental cycles)이라 부른다 — 문제가 되는 이 접촉을 다루기 위해 개수 세기 과정을 교란하거나 재구성하는 기법들이다. 하지만 각 접근법에는 저마다 한계가 있었다. Pardon은 2015년 Stanford 박사 학위 논문(지도교수 Yakov Eliashberg)에서, "암묵적 아틀라스(implicit atlas)"라는 개념을 이용한 완전히 새로운 대수적 접근법을 제시했다 — 국소적인 유한 차원 축소를 제공하는 층 이론적(sheaf-theoretic) 틀이다. Leonid Polterovich는 이를 이렇게 묘사했다: "It was clean. It was powerful" (번역: 깔끔했다. 강력했다) (Quanta Magazine).

그 파급력은 즉각적이었다. Mohammed Abouzaid는 이 논문이 "made it possible for many people to stop worrying about things. It was immediately impactful"(번역: 많은 사람들이 더 이상 이런 문제를 걱정하지 않아도 되게 만들었다. 즉각적으로 영향력을 발휘했다)라고 말했다 (Quanta Magazine). Eliashberg는 "심플렉틱 장 이론의 특정 부분에 대한 일종의 기초가 그의 기법 위에 세워져 있다"고 언급했다. 기초적 엄밀성을 둘러싸고 "서서히 타오르는 위기"에 빠져 있던 이 분야에서, Pardon의 연구는 논쟁을 해소하고 단단한 발판을 마련해 주었다.

2. MNOP 추측 (2023)

이것이 Pardon의 가장 유명한 단일 성과다. 칼라비-야우 3중다양체(Calabi-Yau 3-fold) — 복소 차원 3(실차원 6)의 형태로, 끈이론의 일부 모델에서 감춰진 압축 차원의 기하로 등장하는 도형이다 — 위에서 곡선을 세는 데는 완전히 다른 두 가지 방법이 있다:

• 그로모프-위튼 불변량(Gromov-Witten invariants) (Gromov와 Witten이 개발): 곡선의 종수genus(곡선에 "구멍"이 몇 개 있는지)에 따라 분류해 센다
• 도널드슨-토마스 불변량(Donaldson-Thomas invariants) (Donaldson과 Thomas가 개발): 곡선을 다른 성질에 따라 분류해 센다

이 두 방법은 완전히 다른 수열을 내놓는다. 그런데 2003년, Maulik, Nekrasov, Okounkov, Pandharipande 네 명의 수학자는 이 두 수열이 사실은 같은 함수의 계수를, 서로 다른 방식으로 전개한 것에 불과하다고 추측했다 (Plus Magazine, Quanta Magazine).

무술의 서로 다른 두 판정법을 떠올려보라. 하나는 유효타 수로 매기고 다른 하나는 컨트롤 시간으로 매긴다. 그런데 실은 이 둘이 서로 다른 각도에서 같은 실력을 재고 있었다는 걸 알게 됐다고 상상해보라. MNOP 추측이 말한 바가 바로 이것이었다. 이 두 가지 셈법은 사실 같은 것을 다르게 변장시킨 것에 불과하다는 것이다.

20년 동안 아무도 이를 증명하지 못했다. 그러다 2023년 여름, Pardon이 증명을 온라인에 올렸고, 이로써 nef 반표준 다발(anti-canonical bundle)을 갖는 모든 복소 3-fold(모든 Calabi-Yau 3-fold를 포함)에 대해 1차 삽입(primary insertion)이 있는 경우의 MNOP 추측이 증명되었다. 이 분야의 전문가인 Jim Bryan은 이것이 "out of nowhere" (번역: 아무런 예고도 없이 갑자기 나타났다)라고 말했고, "would have dismissed it entirely if not for Pardon's reputation" (번역: Pardon의 명성이 아니었다면 아예 무시했을 것이다)라고 덧붙였다. 이 증명은 수학의 완전히 다른 영역에서 가져온 도구들을 사용했으며, 지금은 "Pardon algebra" (Quanta Magazine라고 불리는 새로운 수학적 구조를 만들어냈다. Bryan은 이를 "the biggest result in enumerative algebraic geometry for the last 20 years" (번역: 지난 20년간 열거대수기하학에서 나온 가장 큰 성과)라고 불렀고, "rewires the way he thinks about the entire subject" (번역: 이 분야 전체를 바라보는 자신의 사고방식을 다시 배선하게 만들었다)라고 말했다.

3. Liouville 다양체의 Fukaya 범주 (Ganatra, Shende와 공동)

Fukaya 범주란 다양체의 심플렉틱 기하학을 부호화하는 대수적 구조다. 라그랑주 부분다양체와 그 교차점에 관한 기하학적 정보를, 대상·사상·합성에 관한 대수학으로 옮겨주는 일종의 사전인 셈이다. Pardon은 Sheel Ganatra, Vivek Shende와 함께 Liouville 섹터의 wrapped Fukaya 범주를 구성했는데, 여기에는 공변 함자성(covariant functoriality)이라는 결정적인 성질이 있었다. 즉 이 구성이 공간 사이의 사상에 대해 잘 작동한다는 뜻이며, 실제로 계산을 수행하는 데 있어 필수적인 성질이다(Quanta Magazine).

4. 매듭이론과 3-다양체 위의 군 작용

심플렉틱 기하학 연구에 뛰어들기 전, Pardon은 이미 프린스턴 학부생 시절에 화제를 모았다. 그는 1983년 Gromov가 제기한 매듭의 왜곡(distortion)에 관한 문제를 풀었다. 매듭을 따라 잰 거리와 매듭 위 두 점 사이의 직선 거리 사이의 비율에 관한 문제였다. Pardon은 원환 매듭(torus knot)이 임의로 큰 왜곡을 가질 수 있음을 증명했다. 즉 아무리 재배열하려 해도 임의로 얽히게 만들 수 있다는 뜻이다. 이 결과는 Annals of Mathematics에 실렸는데, 학부생으로서는 보기 드문 성취였다(Quanta Magazine). 그는 또한 다음도 증명했다. 3차원 다양체에 대한 Hilbert-Smith 추측, 3차원 다양체에 충실하게 작용하는 모든 국소 콤팩트 군은 리 군이어야 함을 증명 (arXiv:1112.2324).

왜 혁신적인가

Pardon의 작업은 다른 이들이 놓치는 서로 다른 수학 분야 간의 연결을 포착해내는 데 특징이 있다. 그는 개별 문제만 푼 것이 아니라 프레임워크 자체를 세웠다. 그의 가상 기본 사이클(virtual fundamental cycles) 연구는 심플렉틱 기하학 전체 분야에 엄밀한 토대를 마련해주었다. 그의 MNOP 증명은 추측 하나를 해결한 데서 끝나지 않았다 — 이미 다른 연구자들이 더 나아가기 위해 활용하고 있는 완전히 새로운 수학적 구조(Pardon 대수)를 도입한 것이다. 그리고 Fukaya 범주에 관한 그의 연구는 심플렉틱 기하학을 실제로 활용 가능하게 만드는 계산적 인프라를 제공했다.

필즈상 시상 사유는 이렇게 적고 있다: "Pardon is a mathematician of extraordinary depth and originality, who has repeatedly had a significant impact on the fields of topology and symplectic geometry. He has both contributed to fundamental structure and solved problems that had stymied the community for decades" (번역: Pardon은 깊이와 독창성이 비범한 수학자로, 위상수학과 심플렉틱 기하학 분야에 거듭 중대한 영향을 끼쳐 왔다. 그는 근본적인 구조에 기여했을 뿐 아니라, 수십 년간 학계를 가로막았던 문제들을 해결하기도 했다) (Plus Magazine).

애니메이션(저자 제작 보조 자료): 핵심 아이디어와 메커니즘 — 파란 원(GW · 종수 기준)과 초록 사각형(DT · 다른 속성 기준)이 각각 따로 계수되다가, 두 개의 빛줄기가 하나로 모여 맥동하는 "분할함수 Z" 카드로 수렴한다: 두 수열, 하나의 함수, 두 가지 전개.

가장 영향력 있는 관련 연구 10선

John Pardon의 핵심 논문

선행 기초 연구

현재의 영향과 후속 연구

세미나 토론 질문

Jacob Tsimerman — 정수론과 산술기하학

소속: 토론토 대학교 (Princeton 박사, 2011년, 지도교수 Peter Sarnak)
수상 당시 나이: 38

공식 수상 사유

"For his role in the vast extension of the scope of o-minimal techniques within arithmetic and complex algebraic geometry, including the proof of Griffiths' conjecture on the algebraicity of images of the period maps." (번역: 산술기하학과 복소대수기하학에서 o-미니멀 기법의 적용 범위를 대대적으로 확장한 공로, 특히 주기 사상(period map)의 상(image)이 대수적임을 증명한 Griffiths 추측의 증명에 대하여.)
— (Simons Foundation)

분야 소개: 정수론과 산술기하학

정수론은 정수와 그 성질 — 소수, 나눗셈, 방정식의 해 — 을 연구하는 학문이다. 산술기하학은 여기에 기하학을 끌어들인다. 방정식을 직접 다루는 대신, 그 방정식이 정의하는 도형 (대수다양체)을 연구하는 것이다. 이는 마치 암벽 등반가가 루트 위의 개별 홀드만 생각하는 것이 아니라 벽 전체의 기하학적 구조 — 오버행, 크랙, 다이히드럴 — 을 함께 살피는 것과 같다. 그 기하학적 구조가 길이 어디로 나 있는지를 알려주기 때문이다.

산술기하학의 핵심 주제 중 하나는 special points — 기하학적 도형 위에서 특히 풍부한 산술 정보를 담고 있는 점들이다. 이를 기하학적 몸체의 '취약점' 같은 것으로 생각해보자. 깊은 구조가 집중된, 작고 특정한 위치라는 뜻이다. 문제는 이렇다. 이런 특수점을 여러 개 발견했을 때, 그것은 그 점들이 놓인 도형에 대해 무엇을 말해주는가?

Shimura varieties는 아벨 다양체(타원곡선의 고차원 일반화) 족을 매개변수화하는 일종의 기하학적 공간이다. 이들은 깊은 산술 정보를 담고 있는 매우 풍부한 대상이다. Hodge theory는 20세기 중반에 개발되었으며, 기하학적 문제를 해석학적 문제로 번역한다. 등반 문제를 '홀드가 어디 있는가?'에서 '어떤 힘이 작용하는가?'로 옮기는 것과 비슷하다. 이 번역이 바로 Tsimerman의 연구 무대다.

수상 업적

Tsimerman의 필즈상은 그가 o-minimality — 수학 논리학에서 온 개념 — 를 변혁적으로 활용해 수론과 대수기하학의 심오한 문제들을 해결한 공로를 인정한 것이다.

1. André-Oort 추측

1990년대에 Yves André와 Frans Oort가 정식화한 이 추측은 special points (특수점)에 관한 것이다. 예측은 이렇다. Shimura variety의 기약 부분다양체가 특수점(CM점이라 불리는)의 조밀한 집합을 포함한다면, 그 부분다양체 자체도 특수해야 한다는 것이다 (ScientiaMag). 다시 말해, 기하학의 어떤 조각 위에 특수점이 충분히 많이 모여 있다면, 그 조각 자체가 특수하고 고도로 구조화된 대상이어야 한다는 뜻이다.

이는 무술의 한 원칙과도 비슷하다. 어떤 선수가 특정 타깃을 계속 노출한다면, 그것은 그의 자세와 움직임 패턴이 다른 무언가를 보호하도록 짜여 있기 때문이다. 취약점이 곧 구조를 드러내는 셈이다.

이 추측은 Pila-Zannier strategy (Pila-Zannier 전략)를 사용해 공략되었다. 2008년에 도입된 이 방법은 위에서(o-minimal 기하학을 사용해)와 아래에서(Galois orbit 추정을 사용해) 특수점을 세어 비교하는 것이다. Tsimerman은 2018년에 아벨 다양체의 모듈러스 공간(A_g)에 대해 이 추측을 증명했고, 이후 Jonathan Pila, Arul Shankar와 함께 모든 Shimura variety에 대한 완전한 André-Oort 추측을 2021년에 증명했다 (arXiv:2109.08788, ScientiaMag).

2. 주기 사상에 관한 그리피스 추측

1970년, Phillip Griffiths는 주기 사상(period map)의 상 — 대수다양체에 대한 기하학적 데이터를 해석적(호지 이론적) 데이터로 옮기는 사상 — 이 언제나 대수다양체(다항 방정식으로 정의되는 도형)여야 한다고 추측했다. 이는 기하학을 해석학으로 옮기더라도 그 밑바탕에 있는 대수적 구조가 그대로 살아남는다는 뜻이다 (Plus Magazine).

Tsimerman은 Benjamin Bakker, Yohan Brunebarbe와 함께 2018~2023년에 이를 증명했다. 그들의 핵심 혁신은 "o-미니멀 GAGA" — o-미니멀 구조에서 정의 가능한 복소 대수공간 위의 코히런트 층에 대한 GAGA형 정리(Serre의 Geometrie Algébrique et Géométrie Analytique에서 이름을 딴 것)였다. 이는 o-미니멀 기하학을 대수기하학 및 호지 이론과 근본적으로 연결한다 (arXiv:1811.12230).

3. 시무라 다양체에 대한 Ax-Schanuel 정리

Ngaiming Mok, Jonathan Pila와 함께 Tsimerman은 Ax-Schanuel 정리를 모든 (순수) 시무라 다양체에 대해 증명했다. 균등화 사상 아래에서 부분다양체의 원상 중 대수적인 부분을 통제하는 함수적 초월성 명제다. 이는 Pila-Zannier 전략에 반드시 필요한 요소로, 공격을 계획하기 전에 상대 방어의 어느 부분을 정확히 '뚫고 들어갈 수 있는지' 아는 것과 비슷하다 (arXiv:1711.02189).

o-미니멀성이란 무엇인가?

o-미니멀 구조란, 정의 가능한 1차원 부분집합이 언제나 점과 구간의 유한합으로 이루어지는 정의 가능 집합들의 세계를 말한다. 무한히 진동하는 경계도 없고 프랙탈적인 병리 현상도 없다. 더 높은 차원의 정의 가능 집합들은 이 1차원 조건으로부터 강력한 '온순함(tameness)' 성질을 물려받는다. Tsimerman은 이렇게 설명한다: "It makes precise the notion of what a tame geometry is" (번역: 그것은 '온순한 기하학'이란 무엇인지에 대한 개념을 정확하게 만들어준다) (Plus Magazine).

Tsimerman의 기여가 천재적인 지점은, 기하학의 기초를 연구하기 위해 개발된 이 수리논리학의 도구가 정수론에서도 강력한 무기로 쓰일 수 있음을 알아챈 데 있다. 이는 마치 암벽 등반에서 쓰는 기법 — 표면의 질감과 구조를 읽어내는 법 — 을 우연히 발견한 수영 선수가 수영장 벽 주변 물의 흐름 패턴을 더 잘 이해하게 되는 것과 비슷하다. 이런 분야 간 전이야말로 이 작업을 혁신적으로 만드는 지점이다.

왜 혁신적인가

Tsimerman은 단순히 개별 문제들을 푸는 데 그치지 않았다. 그는 주기 사상의 정의가능성, Ax-Schanuel 정리, o-미니멀 GAGA로 이어지는 하나의 완전한 인프라를 구축했다. 이는 이제 산술기하학의 표준 도구 상자가 되었다. 그의 결과들은 호지 추측 — 7개의 100만 달러짜리 밀레니엄 문제 중 하나 — 과 깊이 연관되어 있다 (Simons Foundation). o-minimal 프레임워크는 현재 혼합 주기 사상(mixed period map), 샤파레비치 추측(Shafarevich conjecture), 쌍유리 기하학(birational geometry), 그리고 칼라비-야우 다양체 연구에까지 적용되고 있다.

토론토 대학교는 그의 연구가 "완전히 새로운 연구 방향을 열었다"고 평가하며, "함수적 초월 이론, 호지 구조에 대한 Ax-Schanuel 정리, 그리고 이른바 '있을 법하지 않은 교차(unlikely intersections)' 연구"에 영향을 미쳤다고 밝혔다 (U of T News).

애니메이션(저자 보조 자료): 핵심 아이디어와 메커니즘 — 왼쪽에서 무한히 진동하는 "거친" 곡선이 o-미니멀 렌즈를 통과하며 유한개의 점과 구간으로 이루어진 순한 기하로 바뀐다. 위(o-미니멀 점 계수)와 아래(갈루아 궤도 추정)에서 조여드는 두 개의 파란 화살표 — 이것이 Pila-Zannier 전략의 핵심이다.

가장 영향력 있는 관련 연구 10선

Jacob Tsimerman의 핵심 논문

선행 토대 연구

현재의 영향과 후속 연구

세미나 토론 질문

Hong Wang — 조화해석학과 기하측도론

소속: NYU 쿠랑 연구소 및 IHES (MIT 박사 2019, 지도교수 Larry Guth)
수상 당시 나이: 35세 (2014년 Maryam Mirzakhani, 2022년 Maryna Viazovska에 이어 필즈상을 수상한 세 번째 여성)

공식 수상 이유

"For her work in harmonic analysis and geometric measure theory, including applications of multiscale and decoupling techniques to the local smoothing conjecture for the planar wave equation, and major advances in Fourier restriction, Falconer distance sets, Furstenberg sets in the plane, and the Kakeya problem in three dimensions." (번역: 조화해석학과 기하측도론에 대한 업적, 특히 평면 파동방정식의 local smoothing conjecture에 대한 다중 스케일 및 디커플링 기법의 응용, 그리고 푸리에 제한 문제, Falconer 거리집합, 평면 위의 Furstenberg 집합, 3차원 Kakeya 문제에 대한 주요 진전을 인정하여.)
— (Simons Foundation)

분야: 조화해석학과 기하측도론

조화해석학은 사물을 파동으로 분해하는 기술이다. Joseph Fourier는 19세기에 아무리 복잡한 소리라도 단순한 사인파의 합으로 분해할 수 있음을 발견했다. MP3가 음악을 압축할 수 있는 이유도 여기에 있다. 원신호 자체가 아니라 파동 성분을 저장하는 것이다. 조화해석학은 이 아이디어를 훨씬 넓은 수학적 맥락으로 일반화한다 (Plus Magazine).

무술가가 복잡한 연속 동작을 개별 기술로 쪼개는 것과 비슷하다. 잽, 크로스, 훅, 킥. 개별 동작 하나하나는 단순하지만, 복잡함은 그것들을 어떻게 조합하느냐에서 나온다. 조화해석학은 분해(파동으로 쪼개기)와 합성(파동을 다시 조립하기)을 모두 연구하며, 파동 성분들로부터 원래 대상에 대해 무엇을 말할 수 있는지를 묻는다.

기하측도론은 미적분학의 도구를 매끄럽지 않은 도형으로까지 확장한다. 프랙탈, 비눗방울 뭉치, 혹은 조화해석학에서 등장하는 극도로 불규칙한 집합들이 그 대상이다. 핵심 개념은 하우스도르프 차원인데, 이는 대상의 "크기"가 스케일에 따라 어떻게 변하는지를 측정한다. 직선의 하우스도르프 차원은 1이고, 정사각형은 2다. 하지만 프랙탈은 정수가 아닌 차원을 가질 수 있다. 예컨대 코흐 눈송이는 차원이 약 1.26이다 (Plus Magazine).

수상 업적

Wang의 필즈상은 여러 돌파구가 모여 이룬 성좌를 인정한 것이며, 그 정점에는 하나의 기념비적인 결과가 있다:

1. 3차원 Kakeya 추측 (Joshua Zahl과 공동)

1917년, 일본 수학자 Sōichi Kakeya는 이런 질문을 던졌다. 바늘을 돌려 모든 방향을 가리키게 하는 데 필요한 최소 면적은 얼마인가? 원이면 될 것 같지만, Kakeya는 그보다 더 작은 도형을 찾아냈다. 2년 뒤 Abram Besicovitch는 더 충격적인 사실을 보였다. 바늘을 프랙탈처럼 가지를 뻗는 패턴으로 미끄러뜨리고 살짝 비틀면 그 면적을 얼마든지 작게 — 심지어 0으로도 — 만들 수 있다는 것이었다 (Plus Magazine).

이는 더 깊은 질문을 낳았다. 면적이 0이 될 수 있다면, 차원은 어떨까? 카케야 추측은, 카케야 집합의 부피가 0이 될 수 있음에도 하우스도르프 차원만큼은 여전히 최대한 커야 한다고 예측한다. 즉 그 집합이 속한 공간의 차원과 같아야 한다는 것이다. 2차원에서는 1971년 Roy Davies가 단 몇 쪽 만에 이를 증명했다. 하지만 3차원 이상에서는 50년 넘게 미해결로 남아 있었다.

2025년 2월, Wang과 Joshua Zahl(난카이대학교)은 R³ 안의 모든 카케야 집합이 정확히 하우스도르프 차원 3을 갖는다는 것을 증명한 127쪽짜리 논문을 발표했다 (arXiv:2502.17655, IHES). 이 증명은 3차원 공간에서 가는 튜브들의 모음이 (카케야 집합에서 일어나는 방식으로) 심하게 겹칠 수 있는 유일한 방법은 볼록집합으로 뭉치는 것뿐임을 보이고, 그렇게 뭉친 볼록집합들의 차원을 제한하는 방식으로 이루어진다.

이 증명은 앞서 나온 몇 가지 돌파구 위에 세워진 것이다. 먼저 Wang과 Zahl은 "스티키 카케야(sticky Kakeya)" 경우 — 다중 스케일 자기유사성을 갖는 집합들 — 를 2022년에 증명했다 (arXiv:2210.09581). 그리고 2025년, 일반적인 경우가 이 스티키 경우로 축소됨을 보였다. 전체 논증은 다중 스케일 기하학적 분석, 발생 조합론(incidence combinatorics), 그리고 3차원 공간에서 튜브들이 어떻게 겹칠 수 있는지에 대한 깊은 이해를 결합한 것이다.

2. 평면에서의 퍼스텐버그 집합 추측 (Kevin Ren과 공동)

A 퍼스텐버그 집합(Furstenberg set)이란, 여러 방향에서 그 방향의 직선 조각을 프랙탈 형태로 담고 있는 집합을 말한다. 카케야와 비슷한 조건이지만, 단위 바늘을 회전시키는 대신 직선들과의 차원적 교차를 다룬다는 점이 다르다. Wang과 Kevin Ren은 2023년 R²에서 퍼스텐버그 집합 추측을 완전히 해결하며 예리한 차원 상계를 증명했다 (arXiv:2308.08819). 여기서 개발된 다중 스케일 "스티키 축소" 아이디어는 3차원 카케야 전략에 직접적인 영향을 미쳤다.

3. 평면 파동방정식에 대한 국소 매끄러움 추측 (Larry Guth, Ruixiang Zhang과 공동)

지역 매끄러움 추측(local smoothing conjecture)은 이렇게 묻는다: 파동이 퍼져 나갈 때, 그것은 국소적으로 '매끄러워지는가' — 즉 특정 영역에서 처음보다 더 규칙적인 상태가 되는가? Wang, Guth, Zhang은 R³ 위 원뿔(cone)에 대한 예리한 L⁴ 제곱함수 추정을 통해 2+1차원 파동방정식에 대해 이를 증명했다 (arXiv:1909.10693). 이는 어떤 차원에서든 지역 매끄러움 추측이 완전히 해결된 최초의 사례였다.

4. Falconer 거리집합 문제 (Guth, Iosevich, Ou와 공동)

Falconer 추측은 이렇게 묻는다: 평면 위에 하우스도르프 차원이 1보다 큰 점의 집합이 있다면(R^d에서 일반적인 임계값은 d/2다), 그 점들 사이 거리들의 집합은 양의 측도를 가져야 하는가? Wang과 공동연구자들은 차원이 5/4를 넘으면 고정점 거리집합(pinned distance set)이 양의 측도를 가짐을 증명했다. 이 추측에 대한 중요한 진전이었다 (arXiv:1808.09346).

5. 푸리에 제한 (Shukun Wu와 공동)

푸리에 제한 추측(Fourier restriction conjecture)은 이렇게 묻는다: 구(sphere)와 같은 곡면에 푸리에 변환을 제한해도 여전히 유계 작용소를 얻을 수 있는가? 이는 파동이 곡면 경계와 어떻게 상호작용하는지 이해하는 데 근본적인 문제다. Wang과 Wu는 디커플링 이론과 양끝(two-ends) Furstenberg 부등식을 결합한 새로운 틀을 도입해 새로운 제한 추정치를 얻어냈다 (arXiv:2411.08871).

왜 혁신적인가

Wang은 자신의 분야를 "추측들의 탑"이라고 표현한다 (Plus Magazine). Kakeya 추측은 그 탑의 맨 아래에 있다. 이것이 성립하면 푸리에 제한 추측이 따라오고, 그것이 다시 지역 매끄러움 추측을 함의하며, 그로부터 PDE에 관한 더 많은 결과가 이어진다. Kakeya 추측을 반증하면 탑 전체가 무너진다. 3차원 Kakeya 추측을 증명함으로써 Wang은 단순히 한 문제를 푼 것이 아니다. 조화해석학, PDE, 기하 측도론 전체 결과의 탑에 "근본적인 힘"을 부여한 것이다.

게다가 Wang이 개발한 방법론 — 다중 스케일 분석, 점착적 축소(sticky reduction), 교차 조합론과 기하 측도론의 상호작용 — 은 이미 더 높은 차원과 관련 문제들에 적용되고 있다. Wang 본인의 말을 빌리면: "In Fourier analysis we have a tower of conjectures. The Kakeya conjecture lies at the bottom of three other conjectures, one implying the other. If you disprove the Kakeya conjecture, then you disprove the whole tower" (번역: 푸리에 해석학에는 추측들의 탑이 있다. Kakeya 추측은 서로가 서로를 함의하는 세 개의 다른 추측들 맨 아래에 자리한다. Kakeya 추측을 반증하면 탑 전체가 무너진다) (Plus Magazine).

이 문제는 4차원 이상에서는 여전히 열려 있다. 다음 개척지가 손짓하고 있다.

애니메이션(저자 보조 자료): 핵심 아이디어와 메커니즘 — 원판 안에서 바늘이 모든 방향으로 회전한다(면적은 0이 될 수 있다); 차원 게이지는 3.00 가득 찬 지점까지 밀려 올라간다; 추측의 탑이 그 토대(Kakeya)에서부터 불이 켜져 올라간다: 토대가 무너지면 탑도 무너지지만, 토대가 증명된 지금 탑은 굳건히 서 있다.

가장 영향력 있는 관련 연구 10선

Hong Wang의 핵심 논문

선행 기초 연구

세미나 논의 질문

2026년 필즈상이 수학에 대해 말해주는 것

네 명의 수상자를 함께 놓고 보면 몇 가지 패턴이 드러난다.

1. 분야 간의 다리. 수상자 전원이 서로 무관해 보이던 영역 사이에 다리를 놓았다. Deng은 확률론과 PDE를 연결했다. Pardon은 대수학과 심플렉틱 기하학을 연결했다. Tsimerman은 수리논리학과 정수론을 연결했다. Wang은 기하학적 측도론과 조화해석학을 연결했다. 가장 혁신적인 수학은 분야의 경계에서 일어난다 — 유도, 복싱, 레슬링의 기술을 빌려 와 새로운 것을 만들어내는 무술가처럼 말이다.

2. 심화된 것이 아니라 풀어낸 것. 수상자들은 수십 년간 미해결이었던 문제를 저마다 풀어냈다 — 힐베르트의 여섯째 문제(1900), MNOP 추측(2003), André-Oort 추측(1990년대), Kakeya 추측(1917). 이는 점진적 개선이 아니라, 각 분야를 정의해온 이야기의 완결이었다.

3. 새로운 도구의 창조. 개별 문제를 푸는 것을 넘어, 수상자 각자는 새로운 수학적 장치를 만들어냈다 — 랜덤 텐서(Deng), Pardon 대수와 암묵적 아틀라스(Pardon), o-미니멀 GAGA(Tsimerman), 스티키 축소와 다중스케일 관 해석(Wang) — 이들 도구는 이미 다른 수학자들이 더 멀리 나아가는 데 쓰이고 있다.

4. 물리학과 수학의 얽힘. Deng의 작업은 물리 법칙을 제1원리 위에 세운다. Pardon의 Calabi-Yau 다양체는 숨겨진 차원을 모델링하는 끈이론 모형에 등장한다. Wang의 Kakeya 추측은 파동 전파에 대한 우리의 이해를 뒷받침한다. 물리적 세계를 기술하는 수학의 이 불합리할 정도의 유효성은 여전히 신비롭고, 여전히 풍성한 결실을 맺고 있다.

5. 수학의 전 지구적 성격. 2026년 수상자들은 중국(Deng, Wang), 미국(Pardon), 캐나다(러시아 출생의 Tsimerman) 출신이다. 이 중 두 명은 중국 국적자로, 중국 국적 수학자가 필즈상을 받은 것은 이번이 처음이다(1982년 수상자 Shing-Tung Yau는 중국계이지만 당시 미국 국적이었다). Wang은 90년 역사상 세 번째로 필즈상을 받은 여성이다 (CNN, Simons Foundation). 수학은 점점 더 진정으로 전 지구적인 활동이 되어가고 있다.

앞으로의 전망

2026년 필즈상 수상자들은 오래된 난제를 해결하는 데 그치지 않고 새로운 지평을 열었다. Deng의 방법론은 더 복잡한 유체와 플라즈마로 확장될 수 있다. Pardon의 프레임워크는 열거기하학의 또 다른 추측들을 풀어낼 열쇠가 될지 모른다. Tsimerman의 o-미니멀 도구상자는 쌍유리 기하학으로 영역을 넓혀가고 있다. 그리고 Wang의 3차원 카케야 증명은 절박한 질문 하나를 남겼다: 이 방법들이 4차원, 그 너머까지 통할 것인가?

수영장에서 파동을 보고, 암벽에서 루트를 읽고, 매트 위에서 전략을 읽어내는 젊은 수학자에게 교훈은 분명하다. 가장 깊은 수학은 서로 다른 세계가 만나는 지점에서 살아 숨쉰다. 2026년 필즈상 수상자들은 그저 더 높이 오른 것이 아니다 — 그들은 새로운 산맥을 발견했다.

애니메이션(저자 보조 자료): 네 개의 다리가 차례로 놓인다 — 확률론↔편미분방정식(Deng), 대수학↔심플렉틱 기하학(Pardon), 논리학↔정수론(Tsimerman), 기하학적 측도론↔조화해석학(Wang).

빠른 참조 — 네 명의 수상자

이 브리핑은 IMU 공식 인용문, 각 대학 보도자료, Quanta Magazine 인물 소개, Plus Magazine 해설 기사, 그리고 arXiv 프리프린트를 바탕으로 작성했다. arXiv 식별 번호와 저널 출처는 여러 자료를 대조해 교차 검증했다.

출처: Simons Foundation · Quanta Magazine — Deng 편 · Quanta Magazine — Pardon 편 · Plus Magazine — Deng 편 · Plus Magazine — Pardon 편 · Plus Magazine — Tsimerman 편 · Plus Magazine — Wang 편 · IHES — Wang · UChicago News — Deng · U of T News — Tsimerman · ScientiaMag — Tsimerman · Princeton University · Stanford Mathematics · Scientific American · CNN · NYT — Tsimerman · NYT — Wang · NYT — Deng · arXiv