Los Medallistas Fields 2026:
Un informe institucional de investigación

¿Qué cambió en las matemáticas?

El 23 de julio de 2026, en el Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) en Filadelfia, la Unión Matemática Internacional otorgó cuatro Medallas Fields — muchas veces llamadas el "Premio Nobel de las matemáticas"— a cuatro matemáticos menores de 40 años (Simons Foundation). Cada medallista resolvió un problema que había resistido a los mejores matemáticos del mundo durante décadas, y en algunos casos, durante más de un siglo.

Piensa en las matemáticas como una inmensa cordillera. Hay picos que todos pueden ver: problemas famosos sin resolver que se alzan sobre el paisaje. Hay crestas ocultas que conectan picos que, vistos desde abajo, parecen no tener relación entre sí. Y hay valles enteros de técnicas que la mayoría de los escaladores ni siquiera sabe que existen, pero que resultan contener las rutas clave hacia la cumbre.

Los cuatro Medallistas Fields 2026 no se limitaron a conquistar picos. Construyeron nuevas rutas de escalada que cambiaron el mapa mismo:

• Yu Deng demostró que la danza caótica de miles de millones de partículas da lugar, genuinamente, a las ecuaciones suaves y predecibles de la mecánica de fluidos — completando un sueño que David Hilbert articuló en 1900 (UChicago News).
• John Pardon demostró que dos formas completamente distintas de contar curvas en figuras de seis dimensiones —figuras que podrían modelar nuestro universo en la teoría de cuerdas— en realidad están contando lo mismo, resolviendo así una conjetura de 20 años de antigüedad (Quanta Magazine).
• Jacob Tsimerman importó una herramienta de la lógica matemática —un concepto llamado "o-minimalidad" que precisa qué significa "geometría domesticada"— y la usó para demostrar conjeturas en teoría de números que llevaban abiertas desde la década de 1970 (Plus Magazine).
• Hong Wang demostró que una aguja que gira en todas las direcciones posibles en el espacio tridimensional debe trazar un conjunto de dimensión plena — resolviendo un problema planteado en 1917 y abriendo la puerta a toda una torre de conjeturas en análisis armónico (Plus Magazine, IHES).

Este informe aborda a cada medallista en profundidad: el campo en el que trabaja, el problema que resolvió, por qué importa, y las 10 obras más influyentes —suyas y de sus predecesores— que definen el linaje de investigación.

Animación (recurso del autor): cuatro nuevas rutas se dibujan solas en la cordillera; cuatro banderas se posan sobre las cumbres que cayeron ante ellos — cambiaron el mapa mismo.

Yu Deng — Ecuaciones Diferenciales Parciales

Afiliación: University of Chicago (antes USC Dornsife; doctorado en Princeton, 2015)
Edad al recibir el premio: 37

Cita oficial

"For his work in partial differential equations, including the rigorous derivation of the Boltzmann equation from hard-sphere dynamics for rarefied gases, the derivation of wave kinetic equations from nonlinear dispersive systems, and probabilistic approaches to nonlinear Schrödinger dynamics." (Traducción: "Por su trabajo en ecuaciones diferenciales parciales, incluida la derivación rigurosa de la ecuación de Boltzmann a partir de la dinámica de esferas duras para gases enrarecidos, la derivación de ecuaciones cinéticas de ondas a partir de sistemas dispersivos no lineales, y los enfoques probabilísticos de la dinámica de Schrödinger no lineal".)
— (Simons Foundation)

El campo: Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP)

Imagina que estás nadando en el océano. El agua a tu alrededor no es estática: se mueve, se arremolina y rompe en patrones que de cerca parecen caóticos, pero que a escalas mayores resultan de algún modo organizados. Las ecuaciones que describen cómo evolucionan los fluidos, los gases y las ondas se llaman ecuaciones diferenciales parciales (EDP). Una EDP describe cómo cambia algo a la vez en el espacio y en el tiempo — no solo "¿a qué velocidad cae la pelota?" (eso es una ecuación diferencial ordinaria), sino "¿cómo se propaga la temperatura por una placa de metal a medida que pasa el tiempo?" (UChicago News).

Las EDP son el idioma en el que habla la física. La ecuación del calor, la ecuación de onda, las ecuaciones de Navier-Stokes de la dinámica de fluidos, la ecuación de Schrödinger de la mecánica cuántica: todas son EDP. Pero las EDP son notoriamente difíciles de resolver con rigor. Puedes escribir la ecuación, pero demostrar que existen soluciones, que se comportan como predice la física, y lograr decir algo preciso sobre ellas — ahí es donde la matemática se pone difícil.

El trabajo de Deng vive en la intersección entre las EDP y la probabilidad. Él lleva la mirada flexible y probabilística al mundo rígido y estructurado de las ecuaciones de onda — como llevar la adaptabilidad fluida de un artista marcial a un kata (forma) rígido. Como dice el propio Deng: "There is a lot of randomness in this world, and we need a mathematical way to capture it" (Traducción: "Hay mucha aleatoriedad en este mundo, y necesitamos una forma matemática de capturarla") (UChicago News).

La contribución premiada

La Medalla Fields de Deng reconoce tres avances interrelacionados:

1. Derivar la ecuación de Boltzmann a partir de la dinámica de esferas duras (el Sexto Problema de Hilbert)

En 1900, David Hilbert planteó 23 problemas que marcarían el rumbo de las matemáticas durante el siglo siguiente. Su sexto problema preguntaba: ¿podemos derivar las ecuaciones de la física —en particular las de la mecánica de fluidos— a partir de primeros principios, partiendo del movimiento de partículas individuales? (Plus Magazine)

Imagina la escena: un gas formado por miles de millones de diminutas esferas duras que rebotan entre sí como bolas de billar. A nivel microscópico, cada partícula obedece las leyes de Newton —determinista, predecible para cualquier partícula individual—. Pero a nivel macroscópico, el gas se comporta según la ecuación de Boltzmann (1872), que describe temperatura, presión y velocidad en términos de promedios estadísticos. Y a la escala más grande, el gas fluye como un fluido continuo descrito por las ecuaciones de Navier-Stokes (UChicago News).

La cadena es: Newton → Boltzmann → Navier-Stokes. Hilbert quería que los matemáticos demostraran cada eslabón con rigor.

El segundo eslabón (Boltzmann → Navier-Stokes) ya se entendía. El primero (Newton → Boltzmann) era el difícil. En 1975, Oscar Lanford lo demostró —pero solo para un intervalo de tiempo extremadamente corto, tan corto que "se espera que solo una de cada un millón de partículas haya tenido una colisión" (Plus Magazine). Con el tiempo, las partículas colisionan una y otra vez, acumulando historias compartidas cada vez más complicadas —como compañeros de entrenamiento que han peleado tantos rounds que cada uno anticipa los movimientos del otro—. El supuesto de independencia en el que se apoyaba Boltzmann deja de sostenerse.

Deng, junto con Zaher Hani (Universidad de Michigan) y Xiao Ma (Princeton), le encontró la vuelta a este problema. La idea clave —que se le ocurrió a Deng en un puesto de pollo frito coreano en Providence, Rhode Island (UChicago News)— fue partir los intervalos de tiempo largos en otros más cortos, y luego usar un elaborado algoritmo de "corte de moléculas" para controlar la explosión combinatoria de patrones de colisión. Representaron las historias de colisión como diagramas en forma de árbol (que recuerdan a los diagramas de Feynman en física) y demostraron que, aunque los árboles se vuelven infinitamente complejos con el tiempo, sus contribuciones se cancelan y se combinan de manera controlada (Quanta Magazine).

El resultado: entre 2024 y 2025, Deng, Hani y Ma publicaron una demostración de 200 páginas que deriva la ecuación de Boltzmann a partir de la dinámica de esferas duras para intervalos de tiempo arbitrariamente largos (mientras exista la solución de Boltzmann correspondiente, bajo los supuestos de Boltzmann-Grad), y luego completaron el trayecto riguroso de Newton a Navier-Stokes en este modelo. Deng, Hani y Ma resolvieron así el sexto problema de Hilbert —al menos para el caso de un gas enrarecido de esferas duras en el límite de Boltzmann-Grad— (Plus Magazine, UChicago News).

2. Derivar la ecuación cinética de ondas a partir de sistemas dispersivos no lineales

Antes de abordar el problema de los gases, Deng y Hani trabajaron en un problema análogo para las ondas. Los físicos habían creído durante mucho tiempo que si partes de la ecuación de Schrödinger no lineal (que describe cómo interactúan las ondas en sistemas cuánticos) y te alejas para observar el comportamiento promedio de muchas ondas, deberías obtener la ecuación cinética de ondas — una descripción de más alto nivel de la turbulencia ondulatoria, similar a cómo la energía se propaga en cascada a través de las olas del océano (Quanta Magazine).

Deng y Hani lo demostraron de forma rigurosa. Representaron la solución de onda como una suma de diagramas en forma de árbol, y luego estimaron la contribución de cada árbol con una precisión casi quirúrgica. Como dijo Jalal Shatah, del Courant Institute: "These estimates were beyond anyone's ability" (Traducción: Estas estimaciones superaban la capacidad de cualquiera) (Quanta Magazine). Este resultado, publicado en Inventiones mathematicae en 2023, fue el análogo ondulatorio del teorema de Lanford — y estableció la metodología diagramática que Deng adaptaría más tarde para la derivación de Boltzmann.

3. Enfoques probabilísticos de la dinámica de Schrödinger no lineal

Deng también hizo aportes fundamentales al problema de datos aleatorios en ecuaciones diferenciales parciales. Cuando planteas una EDP con datos iniciales aleatorios —ondas que oscilan de forma errática o presentan discontinuidades— ¿se puede seguir demostrando que la ecuación tiene solución? Deng, junto con Andrea Nahmod (UMass Amherst) y Haitian Yue, demostró que la medida de Gibbs (una regla probabilística que modela el equilibrio térmico) es invariante para la ecuación de Schrödinger no lineal en 2D. Su innovación clave fue la teoría de tensores aleatorios — un marco para analizar las piezas de la solución que oscilan de forma errática y que habían resultado demasiado complejas para los métodos anteriores (Quanta Magazine).

Piénsalo así: en las artes marciales, cuando te enfrentas a un oponente que se mueve de forma impredecible, puedes intentar anticipar cada movimiento individual (el enfoque tradicional y determinista) o puedes aprender los patrones estadísticos —qué movimientos son probables, qué combinaciones son raras— y construir tu estrategia sobre esas probabilidades. Deng llevó este pensamiento probabilístico al mundo determinista de las ecuaciones de onda.

Por qué es transformador

El trabajo de Deng conecta tres escalas de la física —microscópica (dinámica de partículas), mesoscópica (teoría cinética) y macroscópica (mecánica de fluidos)— y lo hace con un rigor matemático que los matemáticos habían buscado durante más de un siglo. La mención de la IMU lo describe como "a leap forward in a centuries-long quest by mathematicians and physicists to derive the basic laws of physics from first principles" (Traducción: un salto adelante en una búsqueda de siglos, por parte de matemáticos y físicos, para derivar las leyes básicas de la física a partir de primeros principios) (Plus Magazine).

La metodología que Deng desarrolló —la descomposición en diagramas de árbol, el algoritmo de "corte de moléculas", la teoría de tensores aleatorios— no es una solución de un solo uso. Es un nuevo conjunto de herramientas que ya se está aplicando en la teoría de EDP, la física estadística y el análisis estocástico. El Séminaire Bourbaki, el espacio de exposición más prestigioso de las matemáticas, dedicó una sesión a este trabajo a menos de dos años de su publicación —un indicador contundente de su impacto (arXiv:2602.04407).

Animación (recurso didáctico del autor): la idea clave y el mecanismo — partículas que vibran (micro · Newton) se sueldan mediante «corte de moléculas + diagramas de árbol que se cancelan» al histograma estadístico (meso · Boltzmann), y de ahí a la onda suave (macro · fluido); las tres escalas se iluminan en secuencia y las flechas de flujo marcan la dirección de derivación rigurosamente probada.

Las 10 obras relacionadas más influyentes

Artículos principales de Yu Deng

Trabajos previos fundacionales

Impacto actual y desarrollos posteriores

Preguntas para discusión en el seminario

John Pardon — Geometría simpléctica

Afiliación: Stony Brook University, Simons Center for Geometry and Physics (doctorado en Stanford, 2015; licenciatura en Princeton, 2011)
Edad al recibir el premio: 37

Cita oficial

"For his achievements in symplectic geometry, including new approaches to virtual fundamental cycles, Fukaya categories of Liouville manifolds and counting holomorphic curves, and for his contributions to other areas of geometry and topology, including group actions on 3-manifolds and knot theory." (Traducción: Por sus logros en geometría simpléctica, incluyendo nuevos enfoques a los ciclos fundamentales virtuales, las categorías de Fukaya de variedades de Liouville y el conteo de curvas holomorfas, y por sus contribuciones a otras áreas de la geometría y la topología, incluyendo acciones de grupos sobre 3-variedades y teoría de nudos.)
— (Simons Foundation)

El campo: geometría simpléctica

Imagina que estás escalando una pared de roca. Tu posición en la pared y tu momento (qué tan rápido te mueves y en qué dirección) describen juntos tu estado completo en cualquier instante. Al espacio de todos los pares posibles (posición, momento) se le llama espacio de fases, y la geometría simpléctica es justamente la geometría del espacio de fases (Quanta Magazine).

En el espacio de fases, posición y momento quedan atrapados en una especie de danza: si cambias uno, el otro tiene que responder. Esta relación —una estructura simpléctica— es más flexible que la rígida geometría euclidiana (donde las formas tienen ángulos y distancias fijas), pero más restringida que la topología (donde puedes estirar y comprimir formas libremente). Piénsalo como la diferencia entre una ruta de escalada rígida con presas fijas (geometría euclidiana), una ruta donde las presas pueden moverse pero la estructura general se mantiene (geometría simpléctica), y un escalamiento completamente libre donde todo vale (topología).

La geometría simpléctica se originó en la mecánica clásica (la formulación de Hamilton), pero se ha convertido en una de las áreas más profundas y activas de las matemáticas modernas, con conexiones a la teoría de cuerdas, la simetría especular y la física cuántica.

La contribución premiada

La Medalla Fields de Pardon reconoce una serie de avances en geometría simpléctica, teoría de nudos y topología geométrica:

1. Ciclos fundamentales virtuales (trabajo de tesis doctoral)

Muchos problemas en geometría simpléctica se reducen a contar — específicamente, contar ciertas curvas (llamadas curvas pseudoholomorfas) en variedades simplécticas. Es como contar el número de rutas distintas para subir una pared de escalada que satisfacen ciertas restricciones. Pero hay un problema: a veces las curvas no intersecan la variedad "transversalmente" (cruzándola limpiamente), sino que apenas la "rozan" tangencialmente — y cuando eso pasa, tu conteo se descompone (Quanta Magazine).

Los matemáticos habían desarrollado varias soluciones alternativas llamadas ciclos fundamentales virtuales — técnicas para perturbar o reorganizar el conteo y así lidiar con estas tangencias problemáticas. Pero cada enfoque tenía sus limitaciones. Pardon, en su tesis doctoral de 2015 en Stanford bajo la dirección de Yakov Eliashberg, desarrolló un enfoque algebraico completamente nuevo usando la noción de un "atlas implícito" — un marco basado en teoría de haces que provee reducciones locales de dimensión finita. Como lo describió Leonid Polterovich: "It was clean. It was powerful" (Traducción: Era limpio. Era poderoso) (Quanta Magazine).

El impacto fue inmediato. Mohammed Abouzaid dijo que la tesis "made it possible for many people to stop worrying about things. It was immediately impactful" (Traducción: hizo posible que mucha gente dejara de preocuparse por ciertas cosas. Tuvo impacto de inmediato) (Quanta Magazine). Eliashberg señaló que "a kind of foundation for certain parts of symplectic field theory are built on his machinery" (Traducción: cierta base de algunas partes de la teoría de campos simplécticos está construida sobre su maquinaria). En un campo que atravesaba una "crisis de fuego lento" en torno al rigor de sus fundamentos, el trabajo de Pardon resolvió disputas y ofreció una plataforma sólida.

2. La conjetura MNOP (2023)

Este es el resultado individual más celebrado de Pardon. En una 3-variedad de Calabi-Yau — una forma de dimensión compleja 3 (dimensión real 6) que aparece en ciertos modelos de teoría de cuerdas como la geometría de las dimensiones compactificadas ocultas — hay dos maneras completamente distintas de contar curvas:

• invariantes de Gromov-Witten (desarrollados por Gromov y Witten): cuentan curvas organizadas por su género (cuántos "agujeros" tiene la curva)
• invariantes de Donaldson-Thomas (desarrollados por Donaldson y Thomas): cuentan curvas organizadas por una propiedad distinta

Estos dos métodos arrojan secuencias de números completamente diferentes. Pero en 2003, cuatro matemáticos — Maulik, Nekrasov, Okounkov y Pandharipande — conjeturaron que estas dos secuencias son en realidad coeficientes de la misma función, expandida de dos maneras distintas (Plus Magazine, Quanta Magazine).

Piénsalo así: es como descubrir que dos sistemas de puntuación completamente distintos en artes marciales —uno basado en golpes conectados, otro en tiempo de control— en secreto miden el mismo desempeño subyacente, solo que desde ángulos diferentes. La conjetura MNOP venía a decir: estos dos conteos son la misma cosa disfrazada.

Durante 20 años, nadie logró demostrarla. Luego, en el verano de 2023, Pardon publicó una demostración en línea, estableciendo la conjetura MNOP para todas las variedades tridimensionales complejas con fibrado anticanónico nef (incluidas todas las variedades de Calabi-Yau) con inserciones primarias. Jim Bryan, experto en el área, dijo que surgió "out of nowhere" (Traducción: de la nada) y que "would have dismissed it entirely if not for Pardon's reputation" (Traducción: la habría descartado por completo de no ser por la reputación de Pardon). La demostración usó herramientas de un área completamente distinta de las matemáticas y creó una nueva estructura matemática ahora llamada "álgebra de Pardon" (Quanta Magazine). Bryan la calificó como "the biggest result in enumerative algebraic geometry for the last 20 years" (Traducción: el mayor resultado en geometría algebraica enumerativa de los últimos 20 años) y dijo que "rewires the way he thinks about the entire subject" (Traducción: le reconfigura por completo la manera de pensar sobre todo el tema).

3. Categorías de Fukaya de variedades de Liouville (con Ganatra y Shende)

La categoría de Fukaya es una estructura algebraica que codifica la geometría simpléctica de una variedad: es como un diccionario que traduce información geométrica (sobre subvariedades lagrangianas y sus intersecciones) en álgebra (sobre objetos, morfismos y composiciones). Pardon, junto con Sheel Ganatra y Vivek Shende, construyó categorías de Fukaya envueltas (wrapped) de sectores de Liouville con una propiedad crucial llamada funtorialidad covariante —lo que significa que la construcción se comporta bien bajo aplicaciones entre espacios, algo esencial para que los cálculos sean realmente viables (Quanta Magazine).

4. Teoría de nudos y acciones de grupos sobre 3-variedades

Incluso antes de su trabajo en geometría simpléctica, Pardon ya había hecho titulares como estudiante de grado en Princeton. Resolvió un problema planteado por Gromov en 1983 sobre la distorsión de nudos —la razón entre la distancia recorrida a lo largo de un nudo y la distancia en línea recta entre dos puntos del mismo. Pardon demostró que los nudos tóricos pueden tener distorsión arbitrariamente grande, lo que significa que pueden estar arbitrariamente enredados, sin importar cómo se intente reorganizarlos. Esto se publicó en los Annals of Mathematics —un logro poco común para un estudiante de grado (Quanta Magazine). También demostró la Hilbert-Smith conjecture for three-manifolds, demostrando que todo grupo localmente compacto que actúa fielmente sobre una 3-variedad debe ser un grupo de Lie (arXiv:1112.2324).

Por qué es transformador

El trabajo de Pardon se caracteriza por ver conexiones entre áreas de las matemáticas que a otros se les escapan. No se limitó a resolver problemas puntuales: construyó marcos completos. Su trabajo sobre ciclos fundamentales virtuales le dio a todo el campo de la geometría simpléctica una base rigurosa. Su demostración de MNOP no solo zanjó una conjetura; introdujo estructuras matemáticas enteramente nuevas (las álgebras de Pardon) que otros investigadores ya están usando para seguir avanzando. Y su trabajo sobre categorías de Fukaya envueltas de sectores de Liouville aportó la infraestructura computacional que hace que la geometría simpléctica sea realmente utilizable en la práctica.

Como establece la mención de la Medalla Fields: "Pardon is a mathematician of extraordinary depth and originality, who has repeatedly had a significant impact on the fields of topology and symplectic geometry. He has both contributed to fundamental structure and solved problems that had stymied the community for decades" (Traducción: Pardon es un matemático de una profundidad y originalidad extraordinarias, que ha tenido un impacto significativo y repetido en los campos de la topología y la geometría simpléctica. Ha contribuido tanto a la estructura fundamental como a resolver problemas que habían frenado a la comunidad durante décadas) (Plus Magazine).

Animación (recurso didáctico del autor): la idea clave y el mecanismo — círculos azules (GW · por género) y cuadrados verdes (DT · por otra propiedad) cuentan por separado; dos haces convergen en una sola tarjeta pulsante de "función de partición Z": dos secuencias, una función, dos expansiones.

Los 10 trabajos relacionados más influyentes

Artículos centrales de John Pardon

Obras fundacionales predecesoras

Impacto actual y trabajos derivados

Preguntas para discusión en el seminario

Jacob Tsimerman — Teoría de números y geometría aritmética

Afiliación: Universidad de Toronto (doctorado en Princeton, 2011, bajo la dirección de Peter Sarnak)
Edad al recibir el premio: 38

Cita oficial

"For his role in the vast extension of the scope of o-minimal techniques within arithmetic and complex algebraic geometry, including the proof of Griffiths' conjecture on the algebraicity of images of the period maps." (Traducción: "Por su papel en la vasta extensión del alcance de las técnicas o-minimales dentro de la geometría aritmética y algebraica compleja, incluyendo la prueba de la conjetura de Griffiths sobre la algebraicidad de las imágenes de los mapas de periodos".)
— (Simons Foundation)

El campo: teoría de números y geometría aritmética

La teoría de números estudia los enteros y sus propiedades: números primos, divisibilidad, soluciones de ecuaciones. La geometría aritmética suma la geometría al panorama: en lugar de trabajar directamente con ecuaciones, se estudian las formas (variedades) que esas ecuaciones definen. Es como cuando un escalador de roca no piensa solo en los agarres individuales de una ruta, sino en la geometría general de la pared —los techos, las fisuras, el diedro— porque esa geometría revela por dónde debe pasar el camino.

Un tema central en la geometría aritmética es el estudio de puntos especiales — puntos en formas geométricas que portan información aritmética especialmente rica. Piensa en ellos como los "puntos de presión" del cuerpo geométrico: ubicaciones pequeñas y específicas donde se concentra una estructura profunda. La pregunta es: cuando encuentras muchos de estos puntos especiales, ¿qué te dice eso sobre la forma en la que viven?

Las variedades de Shimura son una clase de espacios geométricos que parametrizan familias de variedades abelianas (generalizaciones de dimensión superior de las curvas elípticas). Son objetos extraordinariamente ricos que codifican información aritmética profunda. La teoría de Hodge, desarrollada a mediados del siglo XX, traduce problemas geométricos en problemas analíticos — como traducir un problema de escalada de "¿dónde están los agarres?" a "¿qué fuerzas están actuando?" —, y esa traducción es el escenario del trabajo de Tsimerman.

La contribución premiada

La Medalla Fields de Tsimerman reconoce su uso transformador de la o-minimalidad — un concepto de la lógica matemática — para resolver problemas profundos en teoría de números y geometría algebraica:

1. La conjetura de André-Oort

Formulada en la década de 1990 por Yves André y Frans Oort, la conjetura trata sobre puntos especiales en variedades de Shimura. La predicción: si una subvariedad irreducible de una variedad de Shimura contiene un conjunto denso de puntos especiales (llamados puntos CM), entonces la subvariedad misma debe ser especial (ScientiaMag). En otras palabras: si encuentras suficientes "puntos de presión" agrupados en una pieza de geometría, esa pieza debe ser en sí misma un objeto especial, altamente estructurado.

Esto es análogo a un principio de las artes marciales: si descubres que un peleador expone sistemáticamente un blanco en particular, es porque su postura y su patrón de movimiento están construidos para proteger otra cosa — la vulnerabilidad revela la estructura.

La conjetura fue atacada usando la estrategia de Pila-Zannier, introducida en 2008: contar los puntos especiales desde arriba (con geometría o-minimal) y desde abajo (con estimaciones de órbitas de Galois), para luego comparar los resultados. Tsimerman probó la conjetura para el espacio de moduli de variedades abelianas (A_g) en 2018 y, después, junto con Jonathan Pila y Arul Shankar, probó la conjetura completa de André-Oort para todas las variedades de Shimura en 2021 (arXiv:2109.08788, ScientiaMag).

2. La conjetura de Griffiths sobre las aplicaciones de periodos

En 1970, Phillip Griffiths conjeturó que las imágenes de las aplicaciones de periodos —aplicaciones que traducen datos geométricos sobre variedades algebraicas a datos analíticos (de la teoría de Hodge)— debían ser siempre variedades algebraicas (formas definidas por ecuaciones polinomiales). Esto implicaría que, incluso al traducir la geometría a análisis, la estructura algebraica subyacente persiste (Plus Magazine).

Tsimerman, junto con Benjamin Bakker y Yohan Brunebarbe, demostró esto entre 2018 y 2023. Su innovación clave fue "o-minimal GAGA" —un teorema de tipo GAGA (llamado así por Geometrie Algébrique et Géométrie Analytique de Serre) para haces coherentes en espacios algebraicos complejos que son definibles en una estructura o-minimal. Esto conecta de manera fundamental la geometría o-minimal con la geometría algebraica y la teoría de Hodge (arXiv:1811.12230).

3. Ax-Schanuel para variedades de Shimura

Junto con Ngaiming Mok y Jonathan Pila, Tsimerman demostró el teorema de Ax-Schanuel para todas las variedades de Shimura (puras): un enunciado de trascendencia funcional que controla la parte algebraica de la preimagen de subvariedades bajo la aplicación de uniformización. Este es un ingrediente necesario para la estrategia de Pila-Zannier, análogo a saber con exactitud qué partes de la defensa de un oponente se pueden "atravesar" antes de planear el ataque (arXiv:1711.02189).

¿Qué es la o-minimalidad?

Una estructura o-minimal es un universo de conjuntos definibles cuyos subconjuntos definibles unidimensionales son uniones finitas de puntos e intervalos — sin fronteras que oscilen infinitamente, sin patologías fractales. Los conjuntos definibles de dimensión superior heredan, a partir de esta condición unidimensional, fuertes propiedades de geometría domesticada. Como explica Tsimerman: "It makes precise the notion of what a tame geometry is" (Traducción: hace precisa la noción de lo que es una geometría domesticada) (Plus Magazine).

El genio de la contribución de Tsimerman fue reconocer que esta herramienta de la lógica matemática —desarrollada para estudiar los fundamentos de la geometría— podía blandirse como un arma poderosa en la teoría de números. Es como un nadador que descubre que una técnica de la escalada en roca —leer la textura y la estructura de una superficie— le da una mejor comprensión de los patrones de flujo del agua alrededor de las paredes de una piscina. Esa transferencia entre dominios es justo lo que vuelve transformador el trabajo.

Por qué es transformador

Tsimerman no se limitó a resolver problemas individuales. Construyó toda una infraestructura —la definibilidad de las aplicaciones de periodos, los teoremas de Ax-Schanuel, o-minimal GAGA— que se ha convertido en el conjunto de herramientas estándar de la geometría aritmética. Sus resultados están profundamente relacionados con la conjetura de Hodge, uno de los siete Problemas del Milenio con premio de un millón de dólares (Simons Foundation). El marco o-minimal ya se está aplicando a mapas de periodos mixtos, la conjetura de Shafarevich, la geometría biracional y el estudio de variedades de Calabi-Yau.

La Universidad de Toronto señala que su trabajo "abrió direcciones de investigación completamente nuevas" e influyó en "la teoría de trascendencia funcional, el teorema de Ax-Schanuel para estructuras de Hodge, y el estudio de las llamadas intersecciones improbables" (U of T News).

Animación (recurso del autor): la idea clave y el mecanismo — la curva "salvaje" que oscila infinitamente a la izquierda pasa por el lente o-minimal y se vuelve geometría domesticada: un número finito de puntos e intervalos. Las dos flechas azules aprietan desde arriba (conteo de puntos o-minimal) y desde abajo (cotas de órbitas de Galois) — el corazón de la estrategia de Pila-Zannier.

Las 10 obras relacionadas más influyentes

Artículos centrales de Jacob Tsimerman

Trabajos predecesores fundacionales

Impacto actual y trabajos derivados

Preguntas para discusión en el seminario

Hong Wang — Análisis Armónico y Teoría Geométrica de la Medida

Afiliación: NYU Courant Institute e IHES (doctorado en MIT, 2019, bajo la dirección de Larry Guth)
Edad al recibir el premio: 35 años (tercera mujer en recibir una Medalla Fields, después de Maryam Mirzakhani en 2014 y Maryna Viazovska en 2022)

Cita oficial

"For her work in harmonic analysis and geometric measure theory, including applications of multiscale and decoupling techniques to the local smoothing conjecture for the planar wave equation, and major advances in Fourier restriction, Falconer distance sets, Furstenberg sets in the plane, and the Kakeya problem in three dimensions." (Traducción: "Por su trabajo en análisis armónico y teoría geométrica de la medida, incluidas aplicaciones de técnicas multiescala y de desacoplamiento a la conjetura de suavizado local para la ecuación de onda plana, y avances mayores en restricción de Fourier, conjuntos de distancia de Falconer, conjuntos de Furstenberg en el plano, y el problema de Kakeya en tres dimensiones.")
— (Simons Foundation)

El campo: Análisis Armónico y Teoría Geométrica de la Medida

El análisis armónico es el arte de descomponer las cosas en ondas. Joseph Fourier descubrió en el siglo XIX que cualquier sonido —por complejo que sea— puede descomponerse en una suma de ondas sinusoidales simples. Por eso un MP3 puede comprimir música: guarda las componentes de onda en lugar de la señal en bruto. El análisis armónico generaliza esta idea a escenarios matemáticos mucho más amplios (Plus Magazine).

Piénsalo como un artista marcial que descompone una combinación compleja en técnicas individuales: jab, cruzado, gancho, patada. Cada movimiento por sí solo es simple; la complejidad surge de cómo se combinan. El análisis armónico estudia tanto la descomposición (romper en ondas) como la síntesis (volver a juntar las ondas), y se pregunta: ¿qué podemos decir del objeto original a partir de sus componentes de onda?

La teoría geométrica de la medida extiende las herramientas del cálculo a formas que no son suaves —como fractales, cúmulos de burbujas de jabón, o los conjuntos salvajemente irregulares que surgen en el análisis armónico. El concepto clave es la dimensión de Hausdorff, que mide cómo escala el "tamaño" de un objeto. Una línea tiene dimensión de Hausdorff 1; un cuadrado tiene dimensión 2. Pero los fractales pueden tener dimensiones no enteras: el copo de nieve de Koch, por ejemplo, tiene una dimensión de aproximadamente 1.26 (Plus Magazine).

La contribución premiada

La Medalla Fields de Wang reconoce una constelación de avances, coronada por un resultado histórico:

1. La conjetura de Kakeya en tres dimensiones (con Joshua Zahl)

En 1917, el matemático japonés Sōichi Kakeya planteó una pregunta: ¿cuál es el área mínima necesaria para girar una aguja de modo que apunte en todas las direcciones posibles? Uno podría pensar que un círculo funciona, pero Kakeya encontró una forma más pequeña. Dos años después, Abram Besicovitch demostró algo asombroso: se puede hacer que el área sea arbitrariamente pequeña —incluso cero— deslizando y girando levemente la aguja en un patrón de ramificación de tipo fractal (Plus Magazine).

Esto planteó una pregunta más profunda: si el área puede ser cero, ¿qué pasa con la dimensión? La conjetura de Kakeya predice que, aunque un conjunto de Kakeya pueda tener volumen cero, su dimensión de Hausdorff debe seguir siendo tan grande como sea posible: igual a la dimensión del espacio donde vive. En 2D, esto lo demostró Roy Davies en 1971 en apenas unas páginas. En 3D y dimensiones superiores, quedó abierto durante más de 50 años.

En febrero de 2025, Wang y Joshua Zahl (Universidad de Nankai) publicaron una demostración de 127 páginas de que todo conjunto de Kakeya en R³ tiene dimensión de Hausdorff exactamente 3 (arXiv:2502.17655, IHES). La demostración funciona mostrando que la única manera en que una colección de tubos delgados en el espacio 3D puede solaparse intensamente (que es justo lo que ocurre en un conjunto de Kakeya) es agrupándose en conjuntos convexos, y luego acotando la dimensión de esos agrupamientos.

La demostración se apoyó en varios avances previos. Primero, Wang y Zahl probaron el caso "sticky Kakeya" —conjuntos con autosimilitud a múltiples escalas— en 2022 (arXiv:2210.09581). Luego, en 2025, mostraron que el caso general se reduce al caso sticky. El argumento completo combina análisis geométrico multiescala, combinatoria de incidencias y una comprensión profunda de cómo pueden solaparse los tubos en el espacio 3D.

2. La conjetura de los conjuntos de Furstenberg en el plano (con Kevin Ren)

A conjunto de Furstenberg es un conjunto que, en muchas direcciones, contiene piezas fractales de rectas en esa dirección: una condición similar a la de Kakeya, pero que concierne a intersecciones dimensionales con rectas en lugar de rotar una aguja unitaria. Wang y Kevin Ren resolvieron por completo la conjetura de los conjuntos de Furstenberg en R² en 2023, probando cotas de dimensión óptimas (arXiv:2308.08819). Las ideas de "reducción sticky" a múltiples escalas desarrolladas aquí influyeron directamente en la estrategia de Kakeya en 3D.

3. La conjetura de suavizado local para la ecuación de onda plana (con Larry Guth y Ruixiang Zhang)

La conjetura de suavización local (local smoothing conjecture) se pregunta: cuando una onda se propaga, ¿se "suaviza" localmente? Es decir, ¿se vuelve más regular en una región dada de lo que era al principio? Wang, Guth y Zhang lo probaron para la ecuación de onda en 2+1 dimensiones mediante una estimación aguda de tipo función cuadrática L⁴ para el cono en R³ (arXiv:1909.10693). Esta fue la primera resolución completa de una conjetura de suavización local en cualquier dimensión.

4. El problema del conjunto de distancias de Falconer (con Guth, Iosevich y Ou)

La conjetura de Falconer se pregunta: si tienes un conjunto de puntos en el plano con dimensión de Hausdorff mayor que 1 (el umbral general es d/2 para R^d), ¿el conjunto de distancias entre pares de puntos debe tener medida positiva? Wang y sus colaboradores probaron que si la dimensión supera 5/4, entonces el conjunto de distancias fijadas tiene medida positiva — un avance mayor sobre la conjetura (arXiv:1808.09346).

5. Restricción de Fourier (con Shukun Wu)

La conjetura de restricción de Fourier se pregunta: ¿puedes restringir la transformada de Fourier a una superficie curva (como una esfera) y aun así obtener un operador acotado? Esto es fundamental para entender cómo interactúan las ondas con fronteras curvas. Wang y Wu introdujeron un marco nuevo que combina la teoría del desacoplamiento con las desigualdades de Furstenberg de dos extremos, obteniendo nuevas estimaciones de restricción (arXiv:2411.08871).

Por qué es transformador

Wang describe su campo como poseedor de "a tower of conjectures" (Traducción: una torre de conjeturas) (Plus Magazine). La conjetura de Kakeya está en la base: implica la conjetura de restricción de Fourier, que a su vez implica la conjetura de suavización local, que implica más resultados sobre EDPs. Si se refuta la conjetura de Kakeya, toda la torre se derrumba. Al probar la conjetura de Kakeya en 3D, Wang no solo resolvió un problema: le dio "fuerza fundacional" a toda una torre de resultados en análisis armónico, EDPs y teoría geométrica de la medida.

Es más, los métodos que desarrolló Wang —el análisis multiescala, la reducción "sticky", la interacción entre la combinatoria de incidencias y la teoría geométrica de la medida— ya se están aplicando a dimensiones superiores y a problemas relacionados. Como la propia Wang lo expresó: "In Fourier analysis we have a tower of conjectures. The Kakeya conjecture lies at the bottom of three other conjectures, one implying the other. If you disprove the Kakeya conjecture, then you disprove the whole tower" (Traducción: En el análisis de Fourier tenemos una torre de conjeturas. La conjetura de Kakeya está en la base de otras tres conjeturas, cada una implicando la siguiente. Si refutas la conjetura de Kakeya, refutas toda la torre) (Plus Magazine).

El problema sigue abierto para dimensiones 4 y superiores: la frontera llama.

Animación (recurso didáctico del autor): la idea clave y el mecanismo — la aguja rota en todas las direcciones del disco (el área puede ser cero); el medidor de dimensión se dispara hasta un 3.00 completo; la torre de conjeturas se ilumina desde su base (Kakeya): si la base cae, la torre cae; con la base demostrada, la torre se sostiene.

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Preguntas para discusión en el seminario

Qué nos dicen las Medallas Fields 2026 sobre las matemáticas

Si miras en conjunto a los cuatro medallistas, surgen varios patrones:

1. Puentes entre campos. Cada medallista construyó un puente entre áreas que parecían no tener relación. Deng conectó la probabilidad con las EDP. Pardon conectó el álgebra con la geometría simpléctica. Tsimerman conectó la lógica matemática con la teoría de números. Wang conectó la teoría geométrica de la medida con el análisis armónico. Las matemáticas más transformadoras ocurren en las fronteras entre campos, como un artista marcial que toma prestadas técnicas de judo, boxeo y lucha para crear algo nuevo.

2. Problemas profundos resueltos, no solo avanzados. Cada medallista resolvió un problema que llevaba décadas abierto: el sexto de Hilbert (1900), la conjetura MNOP (2003), la conjetura de André-Oort (años noventa), la conjetura de Kakeya (1917). No se trató de mejoras incrementales; fueron el cierre de historias que habían definido sus campos.

3. Herramientas nuevas creadas. Más allá de resolver problemas específicos, cada medallista creó maquinaria matemática nueva: tensores aleatorios (Deng), álgebras de Pardon y atlas implícitos (Pardon), GAGA o-minimal (Tsimerman), reducción "sticky" y análisis multiescala de tubos (Wang), que otros matemáticos ya están usando para seguir avanzando.

4. Física y matemáticas entrelazadas. El trabajo de Deng funda las ecuaciones de la física en primeros principios. Las variedades de Calabi-Yau de Pardon aparecen en modelos de teoría de cuerdas sobre dimensiones ocultas. La conjetura de Kakeya de Wang subyace a nuestra comprensión de la propagación de ondas. La irrazonable eficacia de las matemáticas para describir el mundo físico sigue siendo tan misteriosa y fecunda como siempre.

5. La naturaleza global de las matemáticas. Los medallistas de 2026 provienen de China (Deng, Wang), Estados Unidos (Pardon) y Canadá (Tsimerman, nacido en Rusia). Dos son ciudadanos chinos, la primera vez que matemáticos con ciudadanía china ganan la Medalla Fields (Shing-Tung Yau, ganador en 1982, es de ascendencia china pero en ese momento tenía ciudadanía estadounidense). Wang es apenas la tercera mujer en recibir la medalla en sus 90 años de historia (CNN, Simons Foundation). Las matemáticas son, cada vez más, un esfuerzo verdaderamente global.

Mirando hacia adelante

Los medallistas Fields 2026 no solo resolvieron problemas de larga data, sino que abrieron nuevas fronteras. Los métodos de Deng podrían extenderse a fluidos y plasmas más complejos. El marco de Pardon podría desbloquear más conjeturas de geometría enumerativa. El conjunto de herramientas o-minimales de Tsimerman está avanzando hacia la geometría biracional. Y la prueba del problema de Kakeya en 3D de Wang plantea una pregunta urgente: ¿pueden estos métodos extenderse a la dimensión 4 y más allá?

Para el joven matemático —ese que ve olas en la piscina, rutas en el muro y estrategia en el tatami— la lección es clara: la matemática más profunda vive donde distintos mundos se encuentran. Los medallistas Fields 2026 no solo escalaron más alto: encontraron montañas nuevas.

Animación (recurso del autor): cuatro puentes se trazan en el aire —probabilidad↔EDP (Deng), álgebra↔geometría simpléctica (Pardon), lógica↔teoría de números (Tsimerman), teoría geométrica de la medida↔análisis armónico (Wang).

Referencia rápida — Los cuatro medallistas

Este informe se elaboró a partir de citas oficiales de la IMU, comunicados de prensa universitarios, perfiles de Quanta Magazine, explicaciones de Plus Magazine y preprints de arXiv. Los identificadores de arXiv y las referencias de revistas se verificaron cruzando múltiples fuentes.

Fuentes: Simons Foundation · Quanta Magazine — Deng · Quanta Magazine — Pardon · Plus Magazine — Deng · Plus Magazine — Pardon · Plus Magazine — Tsimerman · Plus Magazine — Wang · IHES — Wang · UChicago News — Deng · U of T News — Tsimerman · ScientiaMag — Tsimerman · Princeton University · Stanford Mathematics · Scientific American · CNN · NYT — Tsimerman · NYT — Wang · NYT — Deng · arXiv