2026年菲尔兹奖得主：
一份机构研究简报

数学界发生了什么变化？

2026年7月23日、フィラデルフィアで開催された国際数学者会議（ICM）にて、国際数学連合（IMU）は4枚のフィールズ賞メダル——しばしば「数学界のノーベル賞」と呼ばれる——を40歳未満の4名の数学者に授与した（Simons Foundation）。每位得主所解决的问题，都曾令世界上最优秀的数学家们束手无策数十年，有的甚至超过一个世纪。

请把数学想象成一片巨大的山脉。有些高峰人人可见——那些著名的未解问题高悬于地景之上。有些隐藏的山脊连接着从山下看似毫不相关的峰峦。还有整片整片的"技术山谷"，多数攀登者甚至不知道它们的存在，而它们恰恰握有通往顶峰的关键路线。

2026年的四位菲尔兹奖得主不只是登上了峰顶。他们修筑了新的攀登路线，改变了地图本身：

• 邓煜（Yu Deng）数十億の粒子が織り成す混沌の舞いが、実際に流体力学のあの滑らかで予測可能な方程式を生み出すことを証明した——David Hilbertが1900年に提起した夢を完成させたのだ（UChicago News）。
• John Pardon 证明了在六维形状（这些形状在弦理论中可能是我们宇宙的模型）上，两种完全不同的曲线计数方式实际上数的是同一件事，一举解决了悬置20年的猜想（Quanta Magazine）。
• Jacob Tsimerman 数理論理学から一つの道具を持ち込んだ——「o-極小性」（o-minimality）と呼ばれる概念で、これが「従順な幾何」の意味を厳密に定義する——そしてこれを使って、1970年代以来未解決だった数論の予想を証明した（Plus Magazine）。
• 王虹（Hong Wang）证明了在三维空间中向所有方向旋转的一根针，其扫过的集合必须具有满维数——解决了1917年提出的问题，并为调和分析中一整座猜想之塔打开了大门（Plus Magazine，IHES）。

本简报将深入介绍每一位得主：他们的研究领域、所解决的问题、其重要性所在，以及界定其研究谱系的10篇最有影响力的著作——包括他们本人的与前辈的。

动画（译者演示）：四条新路线依次画入山脉，四面旗帜落在被终结的峰顶上——他们改变了地图本身。

邓煜 —— 偏微分方程

任职机构：シカゴ大学（以前は南カリフォルニア大学 Dornsife校に在籍；2015年プリンストン大学博士）
获奖时年龄：37岁

官方颁奖词

"表彰他在偏微分方程领域的工作，包括从硬球动力学出发对稀薄气体玻尔兹曼方程的严格推导、从非线性色散系统出发对波动动理学方程的推导，以及对非线性薛定谔动力学的概率方法。"
——（Simons Foundation）

研究分野：偏微分方程式（PDE）

想象你正在海里游泳。你周围的水并不是静止的——它流动、旋转、拍击，那些模式近看似乎混沌，在更大尺度上却又不知怎地井然有序。描述流体、气体与波如何演化的方程，叫做偏微分方程式（PDE）。一个偏微分方程同时描述某个量在空间与时间中如何变化——不只是"球下落得多快？"（那是常微分方程），而是"随着时间推移，温度如何在一块金属板上扩散？"（UChicago News）。

PDEは物理学が語る言語だ。熱方程式、波動方程式、流体力学のナビエ・ストークス（Navier-Stokes）方程式、量子力学のシュレーディンガー方程式——すべてPDEだ。だがPDEを厳密に解くのは、悪名高いほど難しい。方程式を書き下すことはできても、解の存在を証明し、その振る舞いが物理的予測と一致することを示し、なおかつそれについて何か精確なことを言う——数学の難しさはまさにそこにある。

邓煜の仕事はPDEと確率論の交差点に位置する。彼は柔軟な確率的視点を、波動方程式という剛直で構造化された世界に持ち込んだ——武術家の流れるような対応力を、硬い型の中に持ち込むようなものだ。邓煜自身の言葉を借りれば、"この世界には大量のランダム性が存在し、我々はそれを捉える数学的な方法を必要としている。"（訳：この世界には大量のランダム性が存在し、我々はそれを捉える数学的な方法を必要としている）（UChicago News）

获奖贡献

邓煜的菲尔兹奖表彰三项相互关联的突破：

1. 从硬球动力学推导玻尔兹曼方程（希尔伯特第六问题）

1900年，大卫·希尔伯特提出了23个问题，塑造了此后一个世纪的数学。他的第六问题问道：我们能否从第一性原理出发——从单个粒子的运动开始——推导出物理学的方程，尤其是流体力学的方程？（Plus Magazine）

请想象这样的图景：一种气体由数十亿个微小的硬球组成，它们像台球一样相互碰撞。在微观层面，每个粒子都遵循牛顿定律——决定论的，对任何单个粒子都可预测。但在宏观层面，气体的行为服从玻尔兹曼方程（1872），它用统计平均来描述温度、压强与速度。再到最大的尺度上，气体作为连续流体流动，由纳维-斯托克斯方程描述（UChicago News）。

这条链是：牛顿 → 玻尔兹曼 → 纳维-斯托克斯。希尔伯特要求数学家严格证明其中的每一环。

第二の輪（ボルツマン → ナビエ・ストークス）はそれまでに理解されていた。難しいのは第一の輪（ニュートン → ボルツマン）だ。1975年、Oscar Lanfordがこれを証明した——だが極めて短い時間に限られており、その短さは"one would expect only one collision among a million particles"（訳：百万個の粒子のうち一つが一度衝突する程度しか予想されない）というほどだった（Plus Magazine）。在更长的时间里，粒子反复碰撞，累积出复杂的共同历史——就像交手过太多回合的对练伙伴，彼此都能预判对方的动作。玻尔兹曼所依赖的独立性假设就此失效。

邓煜はZaher Hani（ミシガン大学）、Xiao Ma（プリンストン大学）とともにこの問題に取り組んだ。決定的な洞察が生まれたのは、ロードアイランド州プロビデンスの韓国式フライドチキン店だった（UChicago News）——是把长时间区间切分为若干短区间，然后用一套精巧的"分子切割"算法来控制碰撞模式的组合爆炸。他们把碰撞历史表示成树状图（令人想起物理学中的费曼图），进而证明：尽管这些树在长时间下会变得无穷复杂，它们的贡献却以受控的方式相消与合并（Quanta Magazine）。

結果はこうだ。2024〜2025年にかけて、邓煜、Hani、Maは200ページに及ぶ証明を発表し、任意の長時間（対応するボルツマン解が存在し、かつBoltzmann-Grad仮定のもとで）にわたって硬球ダイナミクスからボルツマン方程式を導出した。さらに同じモデル設定において、ニュートンからナビエ・ストークスへの厳密なパイプラインを完成させた。ヒルベルトの第六問題は——少なくともBoltzmann-Grad極限下の希薄硬球気体の場合について——解決が宣言された（Plus Magazine，UChicago News）。

2. 从非线性色散系统推导波动动理学方程

気体を扱う前、邓煜とHaniは波に関する類似の問題を研究していた。物理学者たちは長らく、非線性シュレディンガー方程式（量子系における波の相互作用を記述する）から出発し、視点を引いて多数の波の平均的振る舞いを眺めれば、以下が得られるはずだと信じてきた波动动理学方程——一种关于波湍流的更高层描述，就像能量如何在海浪间级联传递（Quanta Magazine）。

邓煜とHaniはこれを厳密に証明した。彼らは波の解を木状グラフの和として表現し、外科手術のような精密さで各々の木の寄与を評価した。クーラント研究所のJalal Shatahはこう述べている——"These estimates are beyond anyone's ability."（訳：これらの評価は誰にとっても手に負えないものだ）（Quanta Magazine）この成果は2023年に《Inventiones mathematicae》誌に発表され、Lanfordの定理の波動版に相当する。そして邓煜が後にボルツマン方程式の導出で用いる図式的方法論を、ここで確立した。

3. 非线性薛定谔动力学的概率方法

邓煜はさらにPDEの随机数据问题にも根本的に貢献した。ランダムな初期値でPDEを起動したとき——波が激しく振動していたり不連続点を含んでいたりする場合——それでも方程式に解が存在すると証明できるか。邓煜はAndrea Nahmod（マサチューセッツ大学アマースト校）、Haitian Yueとともに、次のことを証明した吉布斯测度（一种刻画热平衡的概率法则）对二维非线性薛定谔方程是不变的。他们的关键创新是随机张量理论——一个用于分析解中狂野震荡部分的框架，此前的方法对这些部分束手无策（Quanta Magazine）。

可以这样想：在武术中，面对一个动作难以捉摸的对手，你要么试图预测他的每一个动作（传统的决定论方法），要么去学习统计规律——哪些动作概率高、哪些组合罕见——并把策略建立在概率之上。邓煜把这种概率思维带进了波动方程的决定论世界。

为何具有变革性

邓煜の仕事は、数学者たちが一世紀以上にわたって追い求めてきた厳密性をもって、物理学の三つのスケール——微視的（粒子ダイナミクス）、中間的（動理学理論）、巨視的（流体力学）——のあいだに橋を架ける。IMUの受賞理由はこれを「数学者と物理学者が第一原理から物理の基本法則を導出しようとする数百年来の探求における飛躍」と評している（Plus Magazine）。

邓煜が発展させた方法論——木グラフ分解、「分子切断」アルゴリズム、ランダムテンソル理論——は一度使い切りの解法テクニックではなく、新たな道具箱として、いまやPDE理論、統計物理学、確率解析のさまざまな場面で応用されている。数学界で最も権威あるレビュー講演の場であるSéminaire Bourbakiが、この成果の発表からわずか2年以内に専用の講演を設けた。これはその影響力を示す強力な指標だ（arXiv:2602.04407）。

动画（译者演示）：核心思想与机制——抖动的粒子（微观·牛顿）经"分子切割+树图相消"焊接到统计直方图（介观·玻尔兹曼），再到光滑波形（宏观·流体）；三个尺度依次点亮，箭头持续流动表示严格证明的推导方向。

10篇最有影响力的相关著作

邓煜的核心论文

奠基性前驱工作

当前影响与后续工作

研讨会讨论题

John Pardon —— シンプレクティック幾何学

任职机构：石溪大学，西蒙斯几何与物理中心（2015年斯坦福大学博士，2011年普林斯顿大学本科）
获奖时年龄：37岁

官方颁奖词

"John Pardon has made a series of remarkable contributions to symplectic geometry, including a novel approach to virtual fundamental cycles, the Fukaya category of Liouville manifolds and holomorphic curve counting, together with contributions to other areas of geometry and topology including group actions on 3-manifolds and knot theory."（訳：Pardonはシンプレクティック幾何学において目覚ましい貢献の数々を成し遂げた。虚基本サイクルへの新しいアプローチ、Liouville多様体のFukaya圏と正則曲線の数え上げに加え、3次元多様体上の群作用や結び目理論を含む幾何学・位相幾何学の他の分野への貢献も含まれる。）
——（Simons Foundation）

研究领域：辛几何

想象你正在攀爬一面岩壁。你在墙上的位置与你的动量（速度多大、朝什么方向）共同描述了你在任一时刻的完整状态。所有可能的（位置，动量）对构成的空间叫做相空间——而辛几何就是相空间的几何学（Quanta Magazine）。

在相空间中，位置与动量被锁定在一支双人舞里：改变其一，另一个必须响应。这种关系——辛结构——比刚性的欧几里得几何（形状有固定的角度与距离）更灵活，又比拓扑学（形状可以自由拉伸压缩）更受约束。可以把三者想成：固定支点的刚性攀岩路线（欧氏几何）、支点可以移动但整体结构不变的路线（辛几何）、以及怎么爬都行的自由攀爬（拓扑学）。

辛几何起源于经典力学（哈密顿的表述），如今已成为现代数学最深刻、最活跃的领域之一，与弦理论、镜像对称和量子物理都有联系。

获奖贡献

Pardon のフィールズ賞は、シンプレクティック幾何学、結び目理論、幾何学的トポロジーを横断する一連の突破を評価したものである：

1. 虚拟基本闭链（博士论文工作）

辛几何中的许多问题归结为计数——具体说，是数辛流形上的某类曲线（称为伪全纯曲线）。这就像数一面攀岩墙上满足特定约束的不同路线的数目。但有一个麻烦：有时曲线与流形的相交不是"横截的"（干净利落地穿过），而只是与之相切地"轻吻"——一旦发生这种情况，你的计数就会出错（Quanta Magazine）。

数学家们为此发展了各种变通方法，统称虚拟基本闭链——摂動や数え直しによってこうした厄介な接触を処理する。だが、どちらの手法にも限界がある。Pardon は2015年のスタンフォード大学での博士論文（指導教員 Yakov Eliashberg）で、まったく新しい代数的手法を発展させ、「隐式图册」（implicit atlas）という概念——局所的な有限次元還元を提供する層論的枠組み——を用いた。Leonid Polterovich はこれを「クリーンで、しかも強力だ」（"Clean, and powerful."）と評した（Quanta Magazine）

その影響は即座に現れた。Mohammed Abouzaid はこの論文について「多くの人が、ある種のことをもう心配しなくてよくなった。すぐに効果が出た」と語った。Eliashberg は「シンプレクティック場理論の一部の基礎は、彼の機械の上に築かれている」と指摘した。かつて基礎の厳密性を巡って「くすぶり続ける危機」に陥っていた分野で、Pardon の仕事は論争を鎮め、堅固な足場を提供した。

2. MNOP 予想（2023年）

これは Pardon の最も名高い単独の成果だ。卡拉比-丘三维流形——复维数为3（实维数为6）的形状，在某些弦理论模型中作为隐藏紧化维度的几何出现——之上，存在两种完全不同的曲线计数方式：

• Gromov-Witten 不変量（Gromov と Witten によって発展）：曲線の種（曲線にいくつ「穴」があるか）によって数え上げを整理する。
• Donaldson-Thomas 不変量（Donaldson と Thomas によって発展）：別の性質によって数え上げを整理する。

この二つの手法はまったく異なる二つの数列を与える。しかし2003年、四人の数学者——Maulik、Nekrasov、Okounkov、Pandharipande——は、この二つの数列が実は同一个函数以两种不同方式展开的系数（Plus Magazine，Quanta Magazine）。

こう考えてみるとよい。格闘技の試合で、有効打を数える採点方式とコントロール時間を数える採点方式、まったく異なる二つの採点法が、実は異なる角度から同じ根底の実力を測っていたと発見するようなものだ。MNOP 予想が言っているのは、この二つの数え上げが同一のものの二つの顔だということである。

二十年間、誰も証明できなかった。ところが2023年の夏、Pardon はその証明をネット上に公開し、反標準束が nef であるすべての複三次元多様体（すべてのカラビ・ヤウ三次元多様体を含み、主要な挿入を伴う）について MNOP 予想を確立した。この分野の専門家 Jim Bryan は、それが「どこからともなく現れた」と言い、さらに「Pardon の名声がなければ、私はそれを完全に無視していただろう」と述べた。証明はまったく異なる数学の分野からの道具を動員し、今では「Pardon 代数"的新数学结构（Quanta Magazine」と呼ばれる構造を生み出した。Bryan はこれを「この20年近くの枚挙代数幾何学における最大の結果」と呼び、「学問全体についての彼の考え方を配線し直した」と述べた。

3. Liouville 多様体の Fukaya 圏（Ganatra、Shende との共同研究）

Fukaya 圏は多様体のシンプレクティック幾何をコード化する代数構造だ——辞書のようなもので、幾何情報（ラグランジュ部分多様体とその交わりに関する情報）を代数（対象・射・合成に関する情報）へと翻訳する。Pardon は Sheel Ganatra、Vivek Shende とともに、一つの重要な性質を持つ——协变函子性——的 Liouville セクターの巻きつき Fukaya 圏。协变函子性意味着该构造在空间之间的映射下表现良好，这对实际计算至关重要（Quanta Magazine）。

4. 纽结理论与三维流形上的群作用

シンプレクティック幾何の仕事に取り組む以前から、Pardon はプリンストン大学の学部生としてすでに話題になっていた。彼は Gromov が1983年に提起した纽结扭曲度の問題——結び目上の二点間の、結び目に沿った距離と直線距離の比——を解決した。Pardon はトーラス結び目のねじれ度が任意大ことを証明した。どのように配置しようとも、任意にきつく巻きつけられるというわけだ。この成果は《Annals of Mathematics》に発表された——学部生としては稀有な業績である（Quanta Magazine）。他还证明了三维流形的 ヒルベルト・スミス予想：任何在三维流形上忠实作用的局部紧群必是李群（arXiv:1112.2324）。

为何具有变革性

Pardon の仕事の特徴は、他の人が見落としていた異なる数学分野同士のつながりを見出す点にある。彼は個々の問題を解くだけではない。枠組みそのものを構築する。virtual fundamental cycle に関する仕事は、シンプレクティック幾何学全体に厳密な土台を与えた。MNOP 証明は一つの予想を解決したにとどまらず、まったく新しい数学的構造（Pardon 代数）を導入し、他の研究者たちはすでにそれを用いて研究を前進させている。Fukaya 圏に関する仕事は、シンプレクティック幾何を実際の計算に使えるものにするための基盤を提供した。

フィールズ賞の授賞理由はこう述べている。"Pardon is a mathematician of exceptional depth and originality, who has repeatedly had a major impact on the fields of topology and symplectic geometry. He has both contributed to foundational structures and solved problems that have puzzled the field for decades."（訳：Pardon は深さと独創性において非凡な数学者であり、位相幾何学とシンプレクティック幾何学の分野に幾度も重大な影響を与えてきた。基礎構造への貢献を果たすと同時に、学界を数十年にわたり悩ませてきた問題も解決した。）（Plus Magazine）

アニメーション（訳者によるデモ）：核心となる考え方と仕組み——青い円（GW・ジーナスによる分類）と緑の四角（DT・別の性質による分類）がそれぞれ数を数え、二筋の光が脈動する一枚の「分割関数 Z」カードへと合流する。二つの数列は、同一の関数の二つの展開なのだ。

10篇最有影响力的相关著作

John Pardon の核心論文

奠基性前驱工作

当前影响与后续工作

研讨会讨论题

Jacob Tsimerman —— 数論と数論幾何

任职机构：トロント大学（2011年プリンストン大学博士、指導教員 Peter Sarnak）
获奖时年龄：38岁

官方颁奖词

"o-極小性の技術を数論幾何および複素代数幾何へ大幅に適用範囲を拡張する上で果たした役割、および周期写像の像に関する Griffiths の代数性予想の証明に対して。"
——（Simons Foundation）

研究领域：数论与算术几何

数论研究整数及其性质——素数、整除性、方程的解。算术几何把几何带入画面：不直接研究方程，而是研究这些方程所定义的形状（簇）。这就像攀岩者不只盯着路线上一个个的支点，而是思考整面岩壁的几何——那些悬垂、裂缝、二面角——因为几何会揭示路线必经之处。

算术几何的一个中心主题是研究特殊点——几何形状上携带格外丰富算术信息的点。可以把它们想成几何身体上的"穴位"：微小而具体的位置，却凝聚着深层结构。问题是：当你在一个形状上发现很多这样的特殊点时，这告诉你关于这个形状的什么？

志村多様体（Shimura varieties）是一类参数化阿贝尔簇（椭圆曲线的高维推广）族的几何空间。它们是极其丰富的对象，编码着深刻的算术信息。ホッジ理論（Hodge theory）20世紀中盤に発展したこの理論は、幾何の問題を解析の問題へと翻訳する。ちょうどロッククライミングの問題を「支点はどこか」から「どんな力が働いているか」へ翻訳するようなものだ。この翻訳こそが、Tsimerman の仕事の舞台となる。

获奖贡献

Tsimerman のフィールズ賞は、彼がo-极小性（一个来自数理逻辑的概念）变革性的运用，以解决数论与代数几何中的深刻问题：

1. André-Oort 予想

この予想は Yves André と Frans Oort が1990年代に提起したもので、志村多様体上の特殊点に関わる。予想の主張はこうだ：志村多様体の既約な部分多様体が稠密な特殊点集合（CM点と呼ばれる）を含むなら、その部分多様体自体が特殊でなければならない（ScientiaMag）。换言之：如果你在一块几何体上发现足够多聚集的"穴位"，那块几何体自身必是一个特殊的、高度结构化的对象。

这类似于武术中的一条原理：如果你发现一个拳手总是暴露某个特定的破绽，那是因为他的站架与移动模式是围绕保护别的东西构建的——破绽本身揭示了结构。

攻克该猜想使用的是2008年引入的 Pila-Zannier 戦略——特殊点を上から（o-極小幾何を使って）数え、下から（ガロア軌道の評価を使って）数え、両者を比較する。Tsimerman は2018年、アーベル多様体のモジュライ空間（A_g）に対してこの予想を証明し、続く2021年には Jonathan Pila、Arul Shankar とともに全ての志村多様体に対して成り立つ完全な André-Oort 予想（arXiv:2109.08788，ScientiaMag）。

2. 周期写像に関する Griffiths の予想

1970年、Phillip Griffiths は次のように予想した：周期映照——把代数簇的几何数据翻译为分析（霍奇理论）数据的映射——的像应当总是代数簇（由多项式方程定义的形状）。这意味着即使把几何翻译成分析，底层的代数结构依然存续（Plus Magazine）。

Tsimerman は Benjamin Bakker、Yohan Brunebarbe とともに2018〜2023年にこれを証明した。決定的な革新は「o-極小 GAGA」——o-極小構造の中で定義可能な複素代数空間上の凝集層に関する GAGA 型定理（名称は Serre の『代数幾何と解析幾何』に由来する）だ。これにより、o-極小幾何は代数幾何とホッジ理論に根本のところで結びついた（arXiv:1811.12230）。

3. 志村多様体のAx-Schanuel定理

Tsimermanは Ngaiming Mok、Jonathan Pila とともに、すべての（純）志村多様体に対して成り立つAx-Schanuel定理を証明した。これは単数化写像のもとで部分多様体の原像がもつ代数的成分を制御する、関数超越性に関する命題だ。Pila-Zannier 戦略に不可欠な素材であり、攻撃を計画する前に相手の防御のどの部分が「突破可能」かをあらかじめ正確に知っておくようなものだ（arXiv:1711.02189）。

什么是 o-极小性？

一个 o-极小结构とは可定義集合の宇宙であり、そこでは一次元の可定義部分集合は有限個の点と区間の和としてしか存在できない。無限に振動する境界もなく、フラクタル的な病理もない。高次元の可定義集合は、この一次元条件から強力な温順性を継承する。Tsimerman自身の言葉を借りれば、「これは『温順な幾何とは何か』という概念を厳密にするものだ」（Plus Magazine）

Tsimermanの貢献の真骨頂は、もともと幾何の基礎を研究するために発展した数理論理学の道具が、数論における強力な武器として使えると見抜いた点にある。水泳選手がロッククライミングの技術——表面の質感や構造を読み取る技術——を使って、プールの壁周りの水流パターンをよりよく理解する、といった具合の転用だ。分野を越えたこの移し替えこそが、彼の仕事を変革的なものにしている。

为何具有变革性

Tsimermanは個別の問題をいくつか解いただけではない。周期写像の可定義性、Ax-Schanuel定理、o-極小GAGAという基盤設備一式を築き上げ、それが今や算術幾何の標準的なツールボックスとなっている。彼の成果は霍奇猜想（七个百万美元千禧年大奖问题之一）有深刻关联（Simons Foundation）。o-極小の枠組みは現在、混合周期写像、シャファレビッチ予想、双有理幾何、そしてカラビ・ヤウ多様体の研究に応用されている。

トロント大学は、彼の仕事が「まったく新しい研究の方向性を切り開いた」と指摘し、「関数超越性理論、ホッジ構造のAx-Schanuel定理、そしていわゆる非確率的交叉の研究」に影響を与えたとしている（U of T News）。

アニメーション（訳者によるデモ）：核心となる発想と仕組み——左側で無限に振動する「野生的な」曲線が、o-極小のレンズを通ることで、右側の有限な断片からなる「温順な」幾何（有限個の点と区間）に変わる。上下から挟み込む青い双方向の矢印が、Pila-Zannier 双方向カウント戦略の心臓部である。

10篇最有影响力的相关著作

Jacob Tsimermanの主要論文十選

奠基性前驱工作

当前影响与后续工作

研讨会讨论题

王虹 —— 调和分析与几何测度论

任职机构：ニューヨーク大学クーラント研究所とフランス高等科学研究所（IHES）（2019年 MIT 博士、指導教員 Larry Guth）
获奖时年龄：35歳（歴代3人目のフィールズ賞女性受賞者。それ以前の2人は2014年の Maryam Mirzakhani と2022年の Maryna Viazovska）

官方颁奖词

"honoring her work in harmonic analysis and geometric measure theory, including the application of multiscale and decoupling techniques to the local smoothing conjecture for the wave equation in the plane, as well as major advances on the Fourier restriction conjecture, the Falconer distance set problem, the Furstenberg set problem in the plane, and the Kakeya problem in three dimensions."（訳：調和解析と幾何測度論における業績を表彰する。平面波動方程式の局所平滑化予想へのマルチスケール解析とデカップリング技術の応用、そしてフーリエ制限予想、Falconer 距離集合問題、平面 Furstenberg 集合問題、および三次元 Kakeya 問題における重要な進展を含む。）
——（Simons Foundation）

研究领域：调和分析与几何测度论

调和分析は物事を波に分解する技芸である。ジョゼフ・フーリエは19世紀に、どんな音——どれほど複雑であろうと——も単純な正弦波の和に分解できることを発見した。MP3が音楽を圧縮できるのもこの原理によるものだ。保存されているのは元の信号そのものではなく、波の成分なのである。調和解析はこの発想を、はるかに広範な数学的場面へと拡張する（Plus Magazine）。

可以把它想成武术家把复杂的连招拆解为单个技术：刺拳、直拳、勾拳、踢腿。每个单独动作都简单；复杂性来自它们的组合方式。调和分析同时研究分解（拆成波）与合成（把波拼回去），并追问：从波的分量中，我们能对原对象说出什么？

几何测度论把微积分的工具扩展到不光滑的形状——比如分形、肥皂泡簇，或调和分析中冒出来的那些狂野不规则的集合。核心概念是豪斯多夫维数，它度量一个对象的"大小"如何随尺度伸缩。直线的豪斯多夫维数是1；正方形是2。但分形可以有非整数维数——例如科赫雪花的维数约为1.26（Plus Magazine）。

获奖贡献

王虹的菲尔兹奖表彰一系列星群般的突破，其顶冠是一项里程碑式结果：

1. 三次元カケヤ予想（Joshua Zahlとの共同研究）

1917年、日本の数学者・掛谷宗一（Sōichi Kakeya）は問うた——一本の針をあらゆる方向へ向けて回転させるには、最小でどれだけの面積が必要か。円で十分だと思うかもしれないが、掛谷はもっと小さな形を見つけた。二年後、Abram Besicovitchは驚くべき事実を示した。フラクタルに似た枝分かれのパターンで針をずらしながら少しずつ回転させれば、面積は任意小——甚至为零（Plus Magazine）。

这引出一个更深的问题：既然面积可以为零，那维数呢？挂谷猜想は予言する。カケヤ集合の体積がゼロであってもなお、そのハウスドルフ次元は可能な限り大きく、すなわちそれが属する空間の次元に等しくなければならない、と。二次元の場合はRoy Daviesが1971年にわずか数ページで証明した。三次元以上は五十年以上未解決のままだった。

2025年2月、王虹（Hong Wang）とJoshua Zahl（ブリティッシュコロンビア大学）は127ページの証明を発表した。R³における任意のカケヤ集合のハウスドルフ次元はちょうど3である（arXiv:2502.17655，IHES）。证明的思路是：三维空间中的细管若要大量重叠（挂谷集中正是如此），唯一的方式是聚集成凸集——然后再对这些凸簇的维数设界。

この証明はいくつかのより早い突破の上に築かれている。まず、王虹とZahlは2022年に"粘性挂谷"情形——具有多尺度自相似性的集合（arXiv:2210.09581）。然后在2025年，他们证明一般情形可以归约到粘性情形。完整论证融合了多尺度几何分析、关联组合学，以及对三维空间中管状体如何重叠的深刻理解。

2. 平面Furstenberg集合予想（Kevin Renとの共同研究）

Furstenberg集合とは、多くの方向において、その方向の直線のフラクタル的断片を含む集合である。カケヤ的な条件に似ているが、単位長の針を回転させることではなく、直線との次元的な交わりに着目する。王虹とKevin Renは2023年、R²におけるFurstenberg集合予想を完全に解決し、正確な次元の限界を証明した（arXiv:2308.08819）。这里发展的多尺度"粘性归约"思想直接影响了三维挂谷的攻略。

3. 平面波動方程の局所滑化予想（Larry Guth、Ruixiang Zhangとの共同研究）

局部光滑化猜想問い：波が拡散していくとき、それは「局所的に滑らかになる」のか。つまり、任意の与えられた領域において、初期状態よりも正則になるのか。王虹、Guth、Zhangは、R³における錐面に対する精密なL⁴平方関数評価を用いて、2+1次元の波動方程についてこの予想を証明した（arXiv:1909.10693）。这是任何维数下局部光滑化猜想的首次完全解决。

4. Falconer距離集合問題（Guth、Iosevich、Ouとの共同研究）

Falconer予想问：如果平面上一个点集的豪斯多夫维数大于1（在 R^d 中一般阈值为 d/2），那么点对之间的距离集合是否必有正测度？王虹与合作者证明：若维数超过5/4，则钉点距离集有正测度——这是该猜想上的重大进展（arXiv:1808.09346）。

5. フーリエ制限（Shukun Wuとの共同研究）

傅里叶限制猜想問：フーリエ変換を球面のような曲面に制限しても、有界作用素として成り立つのか。これは波と曲がった境界との相互作用を理解する上で決定的に重要だ。王虹とWuは、デカップリング理論と両端Furstenberg不等式を組み合わせた新しい枠組みを導入し、新たな制限評価を得た（arXiv:2411.08871）。

为何具有变革性

王虹把她的领域描述为拥有"一座猜想之塔"（Plus Magazine）。掛谷予想はこの塔の土台に位置する。掛谷予想はフーリエ制限予想を含意し、フーリエ制限予想は局所平滑化予想を含意し、それがさらにPDEに関する多くの結果を含意する。掛谷予想が覆されれば、塔全体が崩れ落ちる。三次元掛谷予想を証明することで、王虹は単に一つの問題を解いただけではない。調和解析、PDE、幾何測度論にまたがる結果の塔全体に「地盤の強度」を与えたのだ。

此外，王虹发展的方法——多尺度分析、粘性归约、关联组合学与几何测度论的相互作用——已经被应用于更高维与相关问题。正如王虹本人所说："在傅里叶分析中我们有一座猜想之塔。挂谷猜想位于另外三个猜想的底部，一个蕴涵一个。如果你推翻了挂谷猜想，你就推翻了整座塔。"（Plus Magazine）

四维及更高维的问题仍然开放——前沿在召唤。

动画（译者演示）：核心思想与机制——针在圆盘中旋转扫过每个方向（面积可为零）；维数表被推满至3.00；右侧"猜想之塔"自底部（挂谷）逐层点亮：底若塌，塔皆倾；底既固，塔得基。

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王虹的核心论文

奠基性前驱工作

研讨会讨论题

2026年菲尔兹奖告诉我们数学的什么？

纵观四位得主，几个模式浮现出来：

1. 领域之间的桥梁。受賞者はいずれも、無関係に見える領域の間に橋を架けた。邓煜は確率論とPDEを結び、Pardonは代数と辛幾何を結び、Tsimermanは数理論理学と数論を結び、王虹は幾何測度論と調和解析を結んだ。最も変革的な数学は、こうした領域の境界で生まれる。柔道、ボクシング、レスリングそれぞれの技を取り込み、まったく新しいものを生み出す武術家のようなものだ。

2. 深层问题被解决，而不只是被推进。受賞者たちが解決した問題は、いずれも数十年にわたって未解決のままだった問題である——ヒルベルトの第六問題（1900年）、MNOP予想（2003年）、André-Oort予想（1990年代）、掛谷予想（1917年）。これらは段階的な改良ではない。それぞれの分野を象徴する物語の最終章である。

3. 新工具被创造。個別の問題を解いたことに加えて、受賞者たちはそれぞれ新たな数学的機構を生み出した。ランダムテンソル（邓煜）、Pardon代数と暗黙のアトラス（Pardon）、o-極小GAGA（Tsimerman）、ねばねば（sticky）帰着とマルチスケール管解析（王虹）——これらはすでに他の数学者たちの手で次の研究へと活用されている。

4. 物理与数学彼此交织。邓煜の研究は、物理方程式を第一原理の上に据え直した。Pardonのカラビ・ヤウ多様体は、弦理論における隠れた次元のモデルに現れる。王虹の掛谷予想は、波の伝播に関する私たちの理解を支えている。数学が物理世界を記述するうえで持つ「不合理な有効性」は、いまだ神秘的でありながら、豊かな成果をもたらし続けている。

5. 数学的全球性。2026年の受賞者は、中国（邓煜、王虹）、アメリカ（Pardon）、カナダ（Tsimerman、ロシア生まれ）の出身である。うち二人は中国国籍を持つ。これは中国国籍を有する数学者として初のフィールズ賞受賞となる（1982年に受賞した丘成桐（Shing-Tung Yau）は中華系だが、受賞時点ではアメリカ国籍だった）。王虹は同賞90年の歴史において、わずか三人目の女性受賞者である（CNN，Simons Foundation）。数学正日益成为一项真正全球性的事业。

展望

2026年のフィールズ賞受賞者たちは、長年未解決だった問題を解決するだけでなく、新たな地平を切り開いた。邓煜の手法は、より複雑な流体やプラズマへと拡張されうる。Pardonのフレームワークは、さらなる数え上げ幾何学の予想を解き明かす可能性を秘めている。Tsimermanのo-極小ツールボックスは、双有理幾何学へと進出しつつある。そして王虹の三次元掛谷予想の証明は、切迫した問いを投げかける——この手法は四次元、さらにその先へと通用するのだろうか。

对年轻的数学家——那个在泳池里看见波、在岩壁上看见路线、在垫子上看见策略的人——启示很清楚：最深的数学生长在不同世界的交汇之处。2026年的菲尔兹奖得主不只是爬得更高；他们找到了新的山脉。

アニメーション（訳者による演示）：四つの橋が順に架けられていく——確率論↔PDE（邓煜）、代数↔辛幾何（Pardon）、論理学↔数論（Tsimerman）、幾何測度論↔調和解析（王虹）。

速查表——四位得主

本ブリーフィングはIMU公式の受賞理由、大学のニュースリリース、Quanta Magazineの人物特集、Plus Magazineの科学解説、およびarXivプレプリントをもとに編纂した。arXiv番号と学術誌の文献情報は複数の出典を相互参照して確認済みである。

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